Meetkunde van reguit lyne

In Graad 8 het jy verbande tussen hoeke op reguit lyne geïdentifiseer. In hierdie hoofstuk sal jy al die verbande tussen hoeke hersien en duidelike beskrywings van hulle neerskryf.

Verbande tussen hoeke

Onthou dat 360° een volle rotasie is.

As jy na iets kyk en dan heeltemal in die rondte draai sodat jy weer daarna kyk, het jy deur ’n hoek van 360°. gedraai. As jy net halfpad omdraai sodat jy na iets kyk wat agter jou rug was, het jy deur ’n hoek van 180° gedraai.

  1. Beantwoord die vrae oor die figuur.

    71898.png 

    1. Is \(F\hat{O}D\) kleiner of groter as ’n regte hoek?
    2. Is \(F\hat{O}E\) kleiner of groter as ’n regte hoek?

    In die figuur hier bo is \(F\hat{O}D + F\hat{O}C\)= die helfte van ’n omwenteling = 180\(^\circ\).

    Die som van die hoeke op ’n reguit lyn is 180\(^\circ\).

    Wanneer die som van hoeke 180\(^\circ\) is, word die hoeke supplementêr genoem.

  2. \(C\hat{M}A\) in die figuur hier regs is 75\(^\circ\). AMB is ’n reguit lyn.

    71864.png

    1. Hoe groot is \(C\hat{M}B\)?
    2. Waarom sê jy so?
  3. \(P\hat{M}B\) in die figuur in vraag 2 is 40\(^\circ\).
    1. Hoe groot is \(C\hat{M}P\)
    2. Verduidelik jou redenasie.
  4. In die figuur hier onder is AMB ’n reguit lyn en \(A\hat{M}C\) and \(B\hat{M}C\) is ewe groot.
    1. Hoe groot is hierdie hoeke?
    2. Hoe weet jy dit?
    71719.png

    Wanneer een lyn twee gelyke hoeke vorm waar dit ’n ander lyn ontmoet, sê ons die twee lyne is loodreg op mekaar.

    Omdat die twee gelyke hoeke hoeke op ’n reguit lyn is, is hul som 180°, dus is elke hoek 90°.

  5. In die figuur hier onder sny die lyne AB en CD mekaar in punt M.

    71688.png

    In hierdie hoofstuk moet jy goeie redes gee vir elke bewering wat jy maak.

    1. Lyk dit asof \(C\hat{M}A\) en \(B\hat{M}D\) ewe groot is?
    2. Kan jy verduidelik waarom hulle ewe groot is?
    3. Waaraan is \(C\hat{M}A\) + \(D\hat{M}A\) geluk? ____________ Waarom sê jy so?
    4. Wat is \(C\hat{M}A\) + \(C\hat{M}B\)? ____________ Waarom sê jy so?
    5. Is dit waar dat \(C\hat{M}A\) + \(D\hat{M}A\) = \(C\hat{M}A\) + \(C\hat{M}B\)
    6. Watter hoek kom aan albei kante van die vergelyking in (e) voor?
  6. Beskou jou antwoorde op vraag 5(c) tot 5(e) sorgvuldig.

    Probeer nou jou waarneming in vraag 5(a) verduidelik.

  7. In die figuur hier onder sny AB en CD in M. Vier hoeke word gevorm. CMB en AMD word regoorstaande hoeke genoem. CMA en BMD is ook regoorstaande hoeke.

    Wanneer twee reguit lyne sny, is die regoorstaande hoeke gelyk.

    71501.png 

    1. As \(B\hat{M}C = 125 {^\circ}\), hoe groot is AMD?
    2. Waarom sê jy so?

Lyne en hoeke

’n Lyn wat ander lyne sny, word ’n snylyn genoem.

71434.png 

In die patroon hier bo is AB ewewydig aan CD en EF || GH || KB || LD

  1. Hoeke a, b, c, d en e is ooreenkomstige hoeke. Lyk dit asof die ooreenkomstige hoeke ewe groot is?
  2. Ondersoek of die ooreenkomstige hoeke ewe groot is deur natrekpapier te gebruik. Trek die hoek na wat jy met ander hoeke wil vergelyk en plaas dit bo-op die ander hoeke om uit te vind of hulle ewe groot is. Wat merk jy op?
  3. Hoeke \(f\), \(h\), \(j\), \(m\) en \(n\) is ook ooreenkomstige hoeke. Identifiseer al die ander groepe ooreenkomstige hoeke in die patroon ?
  4. Beskryf die posisie van ooreenkomstige hoeke wat gevorm word wanneer ’n snylyn ander lyne sny.
  5. Die volgende is pare verwisselende hoeke:\( g\) en \(o\); \(j\) en \(s\); en \(k\) en \(r\). Lyk dit asof hierdie hoeke ewe groot is?

  6. Ondersoek of die verwisselende hoeke ewe groot is deur natrekpapier te gebruik. Trek die hoek na wat jy wil vergelyk en plaas dit bo-op die ander hoek om uit te vind of hulle ewe groot is. Wat merk jy op?

  7. Identifiseer nog twee pare verwisselende hoeke.
  8. Gee ’n duidelike beskrywing van die relatiewe posisie van verwisselende hoeke wat gevorm word wanneer ’n snylyn ander lyne sny.
  9. Het jy iets opgemerk omtrent party van die pare ooreenkomstige hoeke toe jy die ondersoek in vraag 6 gedoen het? Beskryf jou bevinding.
  10. Hoeke \(f\) en \(o\); \(i\) en \(q\); en \(k\) en \(s\) is almal pare ko-binnehoeke. Identifiseer nog drie pare ko-binnehoeke in die patroon.

Die hoeke in dieselfde relatiewe posisie by elke snyding waar ’n reguit lyn twee ander lyne kruis, word ooreenkomstige hoeke genoem.

Hoeke aan verskillende kante van ’n snylyn en tussen twee ander lyne word verwisselende hoeke genoem.

Hoeke aan dieselfde kant van die snylyn en tussen twee ander lyne word ko-binnehoeke genoem.

71426.png

Hoeke deur ewewydige lyne gevorm

Ooreenkomstige hoeke

Die lyne AB en CD hier onder ontmoet nooit nie. Jy weet reeds dat lyne wat nooit ontmoet nie en ’n vaste afstand van mekaar af is, ewewydige lyne genoem word. Ons skryf AB \(||\) CD.

Ewewydige lyne het dieselfde rigting, d.w.s. hulle vorm gelyke ooreenkomstige hoeke met enige lyn wat hulle sny.

71401.png 

Die lyn EF sny AB by G en CD by H.

EF is ’n snylyn wat ewewydige lyne AB en CD sny.

    1. Beskou \(E\hat{G}A\) en \(E\hat{H}C\) in die figuur hier bo sorgvuldig. Hulle word ooreenkomstige hoeke genoem. Lyk dit asof hulle ewe groot is?
    2. Meet die twee hoeke om te kontroleer of hulle ewe groot is. Wat merk jy op?
  2. Gestel \(E\hat{G}A\) en \(E\hat{H}C\) is regtig ewe groot. Sal \(E\hat{G}B\) en \(E\hat{H}D\) dan ook ewe groot wees? Gee redes om jou antwoord te ondersteun.

Wanneer twee ewewydige lyne deur ’n snylyn gesny word, is die ooreenkomstige hoeke ewe groot.

Verwisselende hoeke

\(B\hat{G}F\) en \(C\hat{H}E\) hier onder word verwisselende hoeke genoem. Hulle is aan teenoorgestelde kante van die snylyn.

71352.png 

  1. Dink jy die hoeke \(A\hat{G}F\) en \(D\hat{H}E\) moet ook verwisselende hoeke genoem word?
  2. Dink jy verwisselende hoeke is ewe groot? Ondersoek deur natrekpapier soos vroeër te gebruik of meet die hoeke akkuraat met jou gradeboog.

    Wat merk jy op?

    Wanneer ewewydige lyne deur ’n snylyn gesny word, is die verwisselende hoeke ewe groot.

  3. Probeer verduidelik waarom verwisselende hoeke gelyk is wanneer die lyne wat gesny word ewewydig is. Hou in gedagte dat ooreenkomstige hoeke ewe groot is.

  4. Deur die volgende vrae te beantwoord behoort jy te kan sien hoe jy kan verduidelik waarom verwisselende hoeke gelyk is as ewewydige lyne deur ’n snylyn gesny word.

    Is \(B\hat{G}H\) en \(D\hat{H}F\) in die figuur ooreenkomstige hoeke?

    Wat weet jy van ooreenkomstige hoeke?

    71300.png 

    1. Wat kan jy sê van \(B\hat{G}H\) + \(A\hat{G}H\) Gee ’n rede
    2. Wat kan jy sê van \(D\hat{H}G\) + \(C\hat{H}G\)? Gee ’n rede.
    3. Is dit waar dat \(B\hat{G}H\) + \(A\hat{G}H\) = \(D\hat{H}G\) + \(C\hat{H}G\)? Verduidelik.
    4. Sal die vergelyking in (c) steeds waar wees as jy \(B\hat{G}H\) aan die linkerkant met \(C\hat{H}G\) vervang?
  6. Beskou jou werk in vraag 7 sorgvuldig en skryf ’n verduideliking van waarom verwisselende hoeke gelyk is wanneer twee ewewydige lyne deur ’n snylyn gesny word.

    Ko-binnehoeke

    Die hoeke \(A\hat{G}H\) en \(C\hat{H}G\) in die figuur hier onder word Ko-binnehoeke genoem. Hulle is aan dieselfde kant van die snylyn..

    “ko-” beteken saam.

    71210.png 

    1. Wat weet jy van \(C\hat{H}G\) + \(D\hat{H}G\)? Verduidelik.
    2. Wat weet jy van \(B\hat{G}H\) + \(A\hat{G}H\)? Verduidelik.
    3. Wat weet jy van \(B\hat{G}H\)+ \(C\hat{H}G\)? Verduidelik.
    4. Watter gevolgtrekking kan jy maak oor \(A\hat{G}H\) + \(C\hat{H}G\)?

    Gee gedetailleerde redes vir jou gevolgtrekking.

Wanneer twee ewewydige lyne deur ’n snylyn gesny word, is die som van twee ko-binnehoeke 180\(^\circ\). ’n Ander manier om dit te sê, is dat die twee ko-binnehoeke supplementêris.

Identifiseer en benoem hoeke

  1. In die figuur hier onder is die lyn RF loodreg op AB.

    71125.png 

    1. Is RF ook loodreg op CD? Regverdig jou antwoord.
    2. Noem vier pare supplementêre hoeke in die figuur. Sê in elke geval hoe jy weet dat die hoeke supplementêr is.
    3. Noem vier pare ko-binnehoeke in die figuur.
    4. Noem vier pare ooreenkomstige hoeke in die figuur
    5. Noem vier pare verwisselende hoeke in die figuur.
  2. Daar word nou vir jou gegee dat AB en CD in die figuur hier onder ewewydig is. 70917.png
    1. Indien dit gegee word dat RF loodreg op AB is, sal RF ook loodreg wees op CD? Regverdig jou antwoord.
    2. Noem al die pare supplementêre hoeke in die figuur. Sê in elke geval hoe jy weet dat die hoeke supplementêr is.
    3. Gestel \(E\hat{G}A\) = x. Gee die grootte van soveel hoeke in die figuur as wat jy kan in terme van x. Gee elke keer ’n rede vir jou antwoord.

Los probleme op

  1. Lynstukke AB en CD in die figuur hier onder is ewewydig. EF en IJ is ook ewewydig. Merk hierdie feite op die figuur en beantwoord dan die vrae.

    Wanneer jy probleme in meetkunde oplos, kan jy ’n snelskrifmanier gebruik om jou redes te skryf. As twee hoeke byvoorbeeld ewe groot is omdat hulle ooreenkomstige hoeke is, kan jy (corr \(\angle\)e, AB \(||\) CD) as die rede skryf.

    70702.png 

    1. Noem vyf hoeke in die figuur wat gelyk is aan \(G\hat{H}D\) .Gee ’n rede vir elkeen van jou antwoorde.
    2. Noem al die hoeke in die figuur wat gelyk is aan \(A\hat{G}H\) . Gee ’n rede vir elkeen van jou antwoorde.
  2. AB en CD in die figuur hier onder is ewewydig. EF en IJ is ook ewewydig. \(N\hat{M}B\) = 80\(^\circ\) and \(J\hat{L}F\) = 40\(^\circ\).

    70582.png 

    Bepaal die grootte van soveel hoeke in die figuur as wat jy kan en gee redes.

  3. In die figuur hier onder is AB \(||\) CD; EF \(||\) AB; JR \(||\) GH. \(P\hat{M}N\) = 60\(^\circ\), \(R\hat{N}D\) = 50\(^\circ\).

    70406.png 

    1. Bepaal die grootte van soveel hoeke in die figuur as wat jy kan en gee redes.
    2. Is EF en CD ewewydig? Gee redes vir jou antwoord.