Algebraïese uitdrukkings

’n Algebraïese uitdrukking is ’n beskrywing van ’n stel bewerkings wat in ’n bepaalde volgorde gedoen moet word. In hierdie hoofstuk gaan jy leer om ’n ander stel bewerkings te spesifiseer wat dieselfde resultate as ’n gegewe stel bewerkings sal lewer. Twee verskillende uitdrukkings wat dieselfde resultate lewer word ekwivalente uitdrukkings genoem.

Algebraïese taal

Woorde, diagramme en uitdrukkings

  1. Voltooi hierdie tabel.

    Woorde

    Vloeidiagram

    Uitdrukking

    Vermenigvuldig ’n getal met 5 en trek dan 3 van die antwoord af.

    92167.png 

    \(5x - 3\)

    (a)

    Tel 5 by ’n getal en vermenig- vuldig die antwoord met 3.

    92157.png 

    (b)

    92149.png 

    (c)

    \(3(2x + 3)\)

'n Algebraïese uitdrukking dui ’n opeenvolging van bewerkings aan wat ook in woorde en, in sommige gevalle, met vloeidiagramme beskryf kan word.

Uitdrukkings in hakies moet altyd eerste bereken word. As daar nie hakies in ’n algebraïese uitdrukking is nie, beteken dit dat vermenigvuldiging en deling eerste gedoen moet word, en optelling en aftrekking daarna.

Byvoorbeeld, as \(x = 5\) beteken die uitdrukking \(12 + 3x\) "vermenigvuldig 5 met 3 en tel dan 12 by". Dit beteken nie "tel 12 en 3 bymekaar en vermenigvuldig dan met 5" nie.

As jy wil sê "tel 12 en 3 bymekaar en vermenigvuldig dan met 5", moet die numeriese uitdrukking \(5 \times (12 + 3)\) of \((12 + 3) \times 5\) wees.

  1. Beskryf elk van hierdie reekse berekeninge met ’n algebraïese uitdrukking:
    1. Vermenigvuldig 'n getal met 10, trek 5 van die antwoord af en vermenigvuldig die antwoord met 3.
    2. Trek 5 van 'n getal af, vermenigvuldig die antwoord met 10 en vermenigvuldig hierdie antwoord met 3.
  2. Evalueer elkeen van hierdie uitdrukkings vir x = 10:
    1. \(200 - 5x\)
    2. \((200 - 5)x\)
    3. \(5x + 40\)
    4. \(5(x + 40)\)
    5. \(40 + 5x\)
    6. \(5x + 5 \times 40\)

'n paar woorde wat ons in algebra gebruik

’n Uitdrukking met net een term, soos \(3x^2\), 'n eenterm genoem.

’n Uitdrukking wat ’n som van twee terme is, soos \(5x + 4\), word 'n tweeterm genoem.

’n Uitdrukking wat ’n som van drie terme is, soos \(3x^3 + 2x + 9\), word 'n drieterm genoem.

Die simbool x word dikwels gebruik om die veranderlike in ’n algebraïese uitdrukking voor te stel, maar ander lettersimbole kan ook gebruik word. In die eenterm \(3x^2\), word die 3 die koëffisiënt van \(x^2\) genoem. In die tweeterm \(5x + 4\) en in die drieterm \(3x^2 + 2x + 9\) word die getalle 4 en 9 konstantes genoem.

  1. Gebruik die voltooide eerste ry as 'n voorbeeld en voltooi die tabel.

    Uitdrukking

    Soort uitdrukking

    Simbool wat die veranderlike voorstel

    Konstante

    Koëffisiënt van

    \(x^2 + 6x + 10\)

    Drieterm

    \(x\)

    \(10\)

    die tweede term is 6
    \(6s^3 + s^2 + 5\)

    \(s^2\) is ______
    \(\frac{k}{3} + 12\)

    die eerste term is

    \(4p^{10}\)

    \(p^{10}\) is _______
  2. Kyk na die patroon-veelterm wat met \(7x^5 + 5x^4 + 3x^3 + x^2 +\) ...
    1. Wat is die koëffisiënt van die vierde term?
    2. Wat is die eksponentwaarde van die vyfde term?
    3. Dink jy die sesde term sal 'n konstante wees? Waarom?

Ekwivalente algebraïese uitdrukkings

  1. Bereken die numeriese waarde van die uitdrukkings vir die verskillende waardes van \(x\). Doen die berekeninge in jou oefeningboek. Vul dan jou antwoorde in.

    \(x\)

    -2

    -1

    0

    1

    2

    (a)

    \(3x + 2\)

    (b)

    \(2x - 3\)

    (c)

    \(3x + 2 + 2x - 3\)

    (d)

    \(2x - 3 + 3x + 2\)

    (e)

    \(5x - 1\)

    (f)

    \((3x + 2)(2x - 3)\)

    (g)

    \(3x(2x - 3) + 2(2x - 3)\)

    (h)

    \(6x^2 - 5x - 6\)

    (i)

    \(\frac{(3x + 2)(2x-3)}{3x + 2}\)

    (j)

    \(\frac{6x^2 + -5x - 6}{3x + 2}\)
  2. Maak 'n lys van al die algebraïese uitdrukkings hier bo wat dieselfde numeriese waarde vir dieselfde waarde van \(x\) het, al lyk hulle verskillend:

Ekwivalente uitdrukkings is algebraïese uitdrukkings wat uit verskillende stelle van bewerkings bestaan, maar dieselfde numeriese waarde vir enige gegewe waarde van \(x\) het.

Dit is dikwels gerieflik om nie met 'n gegewe uitdrukking te werk nie, maar dit met 'n ekwivalente uitdrukking te vervang.

  1. Voltooi hierdie tabel.

    \(x\)

    2

    3

    5

    10

    -5

    -10

    \(12x - 7 + 3x + 10 - 5x\)
  2. Voltooi hierdie tabel.

    \(x\)

    2

    3

    5

    10

    -5

    -10

    \(10x + 3\)
    1. Is \(10x + 3\) ekwivalent aan \(12x - 7 + 3x + 10 - 5x\)? Verduidelik jou antwoord.
    2. Gestel jy moet weet hoeveel \(12x - 7 + 3x + 10 - 5x\) vir \(x = 37\) en \(x = -43\). Wat dink jy is die maklikste manier om dit uit te vind?

Konvensies om algebraïese uitdrukkings te skryf

Hier is 'n paar dinge waaroor wiskundiges ooreengekom het. Dit maak wiskundige werk baie makliker as almal by hierdie ooreenkomste hou.

'n Konvensie is iets waaroor mense ooreengekom het om op dieselfde manier te doen.

Die vermenigvuldigteken word dikwels in algebraïese uitdrukkings weggelaat. Ons skryf gewoonlik \(4x\) in plaas van \(4 \times x\) en \(4(x - 5)\) in plaas van \(4 \times (x - 5)\). 'n Verdere konvensie is om ’n bekende getal eerste te skryf in ’n produk, dit wil sê ons skryf \(3 \times x\) in plaas van \(x \times 3\), en ons skryf \(3x\) maar nie \(x3\) nie.

  1. Skryf elk van die volgende oor op die manier waarop dit gewoonlik in algebraïese uitdrukkings geskryf word.
    1. \(x \times 4 + x \times y - y \times 3\)
    2. \(7 \times (10 - x) + (5 \times x + 3)10\)

    Mense oral in die wêreld het ooreengekom dat, in uitdrukkings wat nie hakies bevat nie, optel en aftrek gedoen moet word soos dit van links na regs in die uitdrukking voorkom.

    Volgens hierdie konvensie beteken \(x - y + z\) dat jy eers \(y\) van \(x\) moet aftrek en dan \(z\) moet bytel. Byvoorbeeld, as \(x = 10\), \(y = 5\) en \(z = 3\), is \(x - y + z\) dus \(10 - 5 + 3\) en dit beteken \(10 - 5 = 5\), dan \(5 + 3 = 8\). Dit beteken nie \(5 + 3 = 8\), dan \(10 - 8 = 2\) nie.

  2. Bereken \(50 - 20 + 30\) en \(50 + 30 - 20\) en \(50 - 30 + 20\)
  3. Evalueer elk van die volgende uitdrukkings vir \(x = 10, ~y = 5\) en \(z =2 \).
    1. \(x + y -z\)
    2. \(x -z +y\)
    3. (10y - 3x + 5z - 4y \)
    4. \(10y - 3x - 5z + 4y + 3x\)

    Mense het ook ooreengekom dat vermenig-vuldiging (en deling) voor optel en aftrek gedoen moet word in uitdrukkings wat nie hakies bevat nie.

    Dus moet \(5 + 3 \times 4\) verstaan word as "vermenigvuldig 4 met 3 en tel dan die antwoord by 5" en nie as "tel 5 en 3 bymekaar en vermenigvuldig dan die antwoord met 4" nie.

    Dus moet \(3 \times 4 + 5\) verstaan word as "vermenigvuldig 4 met 3 en tel dan die antwoord by 5" en nie as "tel 5 en 3 bymekaar en vermenigvuldig dan die antwoord met 4" nie.

  4. Doen elk van die volgende berekeninge:
    1. vermenigvuldig 4 met 3 en tel dan 5 by die antwoord
    2. tel 4 en 5 bymekaar en vermenigvuldig die antwoord met 3
    3. vermenigvuldig 4 met 3 en tel dan die antwoord by 5
    4. tel 5 en 3 bymekaar en vermenigvuldig dan die antwoord met 4
  5. Herskryf die instruksies in 4(a) en 4(c) sonder om woorde te gebruik.
  6. Bereken elk van die volgende.
    1. \(10 \times 5 + 30\)
    2. \(30 + 10 \times 5\)
    3. \(10 \times 5 - 30\)
    4. \(30 - 10 \times 5\)
    1. Tel 4 en 5 bymekaar en trek dan die antwoord van 20 af.
    2. Trek 4 van 20 af en tel dan 5 by.
    3. Tel 4 en 5 bymekaar en vermenigvuldig dan die antwoord met 3.
    4. Vermenigvuldig 3 met 5 en tel dan die antwoord by 4.

As ons die berekeninge in 7(a) en 7(c) wil spesifiseer sonder om woorde te gebruik, het ons 'n paar uitdagings.

Ons kan nie 20 - 4 + 5 vir "tel 4 en 5 bymekaar en trek dan die antwoord van 20 af" skryf nie, want dit sal "trek 4 van 20 af en tel dan 5 by" beteken. Ons het 'n manier nodig, sonder om woorde te gebruik, om in hierdie geval aan te dui dat ons eers wil optel en daarna wil aftrek.

Net so kan ons nie 4 + 5 \(\times\) 3 vir "tel 4 en 5 bymekaar en vermenigvuldig die antwoord met 3", skryf nie, want dit sal "vermenigvuldig 3 met 5 en tel dan die antwoord by 4" beteken. Ons het 'n manier nodig, sonder om woorde te gebruik, om in hierdie geval aan te dui dat ons wil hê die optelling moet voor die vermenigvuldiging gedoen word.

Wiskundiges het ooreengekom om hakies te gebruik om die uitdagings hier bo aan te spreek. Die volgende konvensie word oral in die wêreld gebruik:

Elke keer as daar hakies in 'n uitdrukking is, moet die berekeninge tussen hakies eerste gedoen word.

Dus beteken \(20 - (4 + 5)\) tel 4 en 5 bymekaar en trek dan die antwoord van 20 af, maar 20 - 4 + 5 beteken trek 4 van 20 af en tel dan 5 by.

\((4 + 5) \times 3\) of \(3 \times (4 + 5)\) beteken tel 4 en 5 bymekaar en vermenigvuldig dan die antwoord met 3, maar \( 4 + 5 \times 3\) beteken vermenigvuldig 3 met 5 en tel dan die antwoord by 4.

\(10 + 2(5 + 9)\) beteken tel 5 en 9 bymekaar, vermenigvuldig die antwoord met 2 en tel dan hierdie antwoord by 10:

\(5 + 9 = 14 \\ 14 \times 2 = 28 \\ 28 + 10 = 38 \)

  1. Bereken elk van die volgende.
    1. \(100 + 50 - 30\)
    2. \(100 + (50 - 30)\)
    3. \(100 - 50 + 30 \)
    4. \(100 - (50 + 30)\)
    5. \(3(10 - 4) + 2 \)
    6. \(10(5 + 7) + 3(18 - 8)\)
    7. \(250 - 10 \times (18 + 2) + 35 \)
    8. \((20 + 20) \times (20 - 10)\)
    9. \((250 - 10) \times (18 + 2) + 35 \)
    10. \(20 + 20 \times (20 - 10)\)
    11. \(200 + (100 \times 2(15 + 5)) \)
    12. \((200 + 100) \times 2 \times 15 + 5\)

In algebra skryf ons gewoonlik \(3(x + 2y)\) in plaas van \((x + 2y) \times 3\), en ons skryf \(3(x - 2y)\) in plaas van \((x - 2y) \times 3\). Jy moenie toelaat dat hierdie konvensionele manier van skryf in algebra jou verwar nie. Die uitdrukking \(3(x + 2y)\) beteken nie dat vermenigvuldiging met 3 die eerste ding is wat jy moet doen wanneer jy die uitdrukking vir sekere waardes van x en y evalueer nie. Die eerste ding wat jy moet doen, is om die waardes van x en y bymekaar te tel. Dit is wat die hakies vir jou sê!

Om die instruksies 3(x + 2y) uit te voer is egter nie die enigste manier waarop jy kan uitvind hoeveel 3(x + 2y) vir enige gegewe waardes van x en y is nie. In plaas daarvan om 3(x + 2y) uit te werk, kan jy 3x + 6y uitwerk. In hierdie geval sal jy elke term vermenigvuldig voordat jy hulle bymekaartel.

  1. Evalueer elk van die volgende uitdrukkings vir \(x = 10,~y = 5\) en \(z = 2\).
    1. \(xy + z\)
    2. \(x(y + z)\)
    3. \(x + yz \)
    4. \(xy + xz\)
    5. \(xy - z\)
    6. \(x(y - z)\)
    7. \( x - yz\)
    8. \(xy - yz\)
    9. \(x + (y - z) \)
    10. \(x - (y - z)\)
    11. \(x - (y + z)\)
    12. \(x - y - z\)
    13. \(x + y - z\)
    14. \(x - y + z\)

Eienskappe van bewerkings

  1. Bereken die volgende:
    1. \(5(3 + 4) \)
    2. \(5 \times 3 + 5 \times 4\)
    3. \(6 \times 3 + (4 + 6)\)
    4. \(6 + 4) + 3 \times 6\)
    5. \(3 \times (4 \times 5) \)
    6. \((3 \times 4) \times 5\)

Jy moes raakgesien het dat die resultate in elke ry dieselfde is. Dit is omdat bewerkings met getalle sekere eienskappe het, naamlik die verspreidingseienskap (of distributiewe eienskap), die omruilingseienskap (of kommutatiewe eienskap) en die groeperingseienskap (of assosiatiewe eienskap).

Die verspreidingseienskap (of distributiewe eienskap) word gebruik elke keer wat jy 'n getal indele vermenigvuldig, byvoorbeeld:

Die getal vier-en-dertig is eintlik \(30 + 4\). Jy kan \(5 \times 34\) bereken deur \(5 \times 30\) en \(5 \times 4\) te bereken en dan die twee antwoorde bymekaar te tel: \(5 \times 34 = 5 \times 30 + 5 \times 4\)

Die woord "distribueer" beteken om te versprei. Die verspreidingseienskap kan soos volg beskryf word:

\(a(b + c) = ab + ac\)

waar \(a,~b\) en \(c\) enige getalle kan wees.

Ons kan sê: "vermenig-vuldiging versprei oor optel".

  1. Bereken elk van die volgende:
    1. \(5(x - y)\) vir \(x = 10\) en \(y = 8 \)
    2. \(5x - 5y\) for \(x = 10\) en \(y = 8\)
    3. \(5(x - y)\) vir \(x = 100\) en \(y = 30 \)
    4. \(5x - 5y\) vir \(x = 100\) en \(y = 30\)
    5. \( 5(x - y + z)\) vir \(x = 10, ~y = 3,~z = 2 \)
    6. \(5x - 5y + 5z\) vir \(x = 10, ~y = 3, ~z = 2\)
  2. Ons sê "vermenigvuldiging versprei oor optel". Versprei vermenigvuldiging oor aftrek ook?Gee voorbeelde om jou antwoord te staaf.

Vir enige waardes van \(x\) en \(y\),

Dit word die omruilingseienskap (of kommutatiewe eienskap) van optel en vermenigvuldiging genoem.

  1. Ons sê "optel is kommutatief" en "vermenigvuldiging is kommutatief".

    Is aftrek ook kommutatief? Staaf jou antwoord met 'n voorbeeld.

Die groeperingseienskap (of assosiatiewe eienskap) stel jou in staat om drie of meer getalle in enige volgorde te rangskik wanneer jy optel of vermenigvuldig. Vir enige waardes van \(x\), \(y\) en \(z\) het die volgende uitdrukkings almal dieselfde antwoord:

\(x + y + z \\ y + x + z \\ z + y + x\)

  1. Bereken \(16 + 33 + 14 + 17\) op die maklikste moontlike manier.

Die groeperingseienskap van vermenigvuldiging stel jou in staat om iets soos die volgende te vereenvoudig.

\(abc + bca + cba\)

Omdat die volgorde van vermenigvuldiging nie die resultaat verander nie, kan ons hierdie uitdrukking herskryf as: abc + abc + abc. Ons kan dit vereenvoudig deur gelyksoortige terme te kombineer om 3abc te kry.

Jy sal hierdie eienskappe dwarsdeur hierdie hoofstuk kan gebruik en wanneer jy algebraïese manipulasies doen.

Wanneer jy 'n uitdrukking vorm om ekwivalent te wees aan 'n gegewe uitdrukking sê ons dat jy die uitdrukking manipuleer.

  1. Vervang elk van die volgende uitdrukkings met 'n eenvoudiger uitdrukking wat dieselfde antwoord sal gee. Moenie nou enige berekeninge doen nie. Sê net elke keer hoe jou vervanging dit makliker maak.
    1. \( 17 \times 43 + 17 \times 57\)
    2. \( 7 \times 5 \times 8 \times 4 + 12 \times 8 \times 4 \times 7 - 9 \times 4 \times 5 \times 8\)
    3. \( 43 \times 17 + 57 \times 17\)
    4. \(43x + 57x\) (vir \(x = 213\) of enige ander waarde)
  2. atter eienskappe van bewerkings het jy in elke deel van vraag 6 gebruik?

Kombineer gelyksoortige terme in algebraïese uitdrukkings

Herrangskik terme en kombineer dan gelyksoortige terme

Om te kontroleer of twee uitdrukkings dalk ekwivalent is, kan jy albei uitdrukkings vir verskeie verskillende waardes van die veranderlike evalueer.

  1. Voorspel in elke geval hier onder eers of die twee uitdrukkings ekwivalent is en kontroleer dan deur albei uitdrukkings vir \(x = 1,~ x = 10,~ x = 2\) en \(x = -2\) in die tabelle te evalueer.
    1. \(x(x + 3)\) en \(x^2 + 3\)
    2. \(x(x + 3)\) en \(x^2 + 3x\)

Sommige uitdrukkings kan vereenvoudig word deur die terme te herrangskik en gelyksoortige terme te kombineer. In die uitdrukking \(5x^2 + 13x + 7 + 2x^2 - 8x - 12\) is die terme \(5x^2\) en \(2x\) gelyksoortige terme.

Twee of meer gelyksoortige terme kan gekombineer word om 'n enkele term te vorm.

\(5x^2 + 2x^2\) kan met \(7x^2\) vervang word, want vir enige waarde van \(x\), byvoorbeeld \(x = 2\) or \(x = 10\), sal berekening van \(5x^2 + 2x^2\) en \(7x^2\) dieselfde uitvoerwaarde gee (probeer dit!).

  1. Voltooi die tabel.

    \(x\)

    10

    2

    5

    1

    \(5x^2 + 2x^2\)

    \(7x^2\)

    \(13x - 8x\)

    \(5x\)

Dit is moeilik om die gelyksoortige terme in 'n lang uitdrukking soos byvoorbeeld 3x2 + 13x + 7 + 2x2 - 8x - 12. raak te sien. Gelukkig kan jy die terme in 'n uitdrukking herrangskik sodat die gelyksoortige terme langs mekaar is.

    1. Voltooi die tweede en derde rye van die tabel hier onder. Jy sal die volgende twee rye voltooi wanneer jy vraag (g) doen.

      \(x\)

      10

      2

      5

      1

      \(3x^2 + 13x + 7 + 2x^2 - 8x - 12\)

      \(3x^2 + 2x^2 + 13x - 8x + 7 - 12\)
    2. Wat sien jy raak?
    3. Hoe verskil die een uitdrukking in die tabel hier bo van die ander een?
    4. Kombineer die gelyksoortige terme in \(3x^2 + 2x^2 + 13x - 8x + 7 - 12\) om 'n korter ekwivalente uitdrukking te maak.
    5. Evalueer jou korter uitdrukking vir \(x = 10,~ x = 2\) en \(x = 5\).
    6. Is jou korter uitdrukking ekwivalent aan \(3x^2 + 13x + 7 + 2x^2 - 8x - 12\)?

      Verduidelik hoe jy weet of dit is, of nie is nie.

    7. Evalueer \(5x^2 + 5x - 5\) en \(5(x^2 + x - 1)\) vir \(x = 10,~ x = 2, x = 5\) en \(x = 1\), en skryf jou antwoorde in die laaste twee rye van die tabel hier bo.
  2. Vereenvoudig elke uitdrukking:
    1. \((3x^2 + 5x + 8) + (5x^2 + x + 4)\)
    2. \((7x^2 + 3x + 5) + (2x^2 - x - 2)\)
    3. \(6x^2 - 7x - 4) + (4x^2 + 5x + 5)\)
    4. \((2x^2 - 5x - 9) - (5x^2 - 2x - 1)\)
    5. \((-2x^2 + 5x - 3) + (-3x^2 - 9x + 5)\)
    6. \((y^2 + y + 1) + (y^2 - y - 1)\)
  3. Voltooi die tabel. (Wenk: Maak dit vir jouself makliker deur eers te vereenvoudig!)

    \(x\)

    2,5

    3,7

    6,4

    12,9

    35

    -4,7

    -0,04

    \((3x + 6,5) + (7x + 3,5)\)

    \((13x - 6) + (26 - 12x)\)
  4. Vereenvoudig:
    1. \((2r^2 + 3r - 5) + (7r^2 - 8r - 12)\)
    2. \((2r^2 + 3r - 5) - (7r^2 - 8r - 12)\)
    3. \((2x + 5xy + 3y) - (12x - 2xy - 5y)\)
    4. \((2x + 5xy + 3y) + (12x - 2xy - 5y)\)
  5. Evalueer die volgende uitdrukkings vir \( x = 3,~ x = -2, ~x = 5\) van \(x = -3\).
    1. \( 2x(x^2 - x - 1) + 5x(2x^2 + 3x - 5) - 3x(x^2 + 2x + 1)\)
    2. \( (3x^2 - 5x + 7) - (7x^2 + 3x - 5) + (5x^2 - 2x + 8)\)
  6. Skryf ekwivalente uitdrukkings sonder hakies.
    1. \( 3x^4 - (x^2 + 2x)\)
    2. \(3x^4 - (x2 - 2x)\)
    3. \( 3x^4 + (x^2 + 2x)\)
    4. \( x - (y + z - t))\)
  7. Skryf ekwivalente uitdrukkings sonder hakies, herrangskik sodat gelyksoortige terme saam gegroepeer is, en kombineer dan die gelyksoortige terme.
    1. \( 2y^2 + (y2 - 3y)\)
    2. \( 3x^2 + (5x + x^2)\)
    3. \(6x^2 - (x4 + 3x^2)\)
    4. \(2t^2 - (3t^2 - 5t^3)\)
    5. \( 6x^2 + 3x - (4x^2 + 5x)\)
    6. \(2r^2 - 5r + 7 + (3r^2 - 7r - 8)\)
    7. \( 5(x^2 + x) + 2(x^2 + 3x)\)
    8. \( 2x(x - 3) + 5x(x + 2)\)
  8. Skryf ekwivalente uitdrukkings sonder hakies en vereenvoudig hierdie uitdrukkings sover as moontlik.

    Voorbeeld

    \( \begin{align} 5r^2 - 2r(r + 5) &= 5r^2 - 2r^2 - 10r \\ &= 3r^2 - 10r \end{align}\)

    1. \(3x^2 + x(x + 3) \)
    2. \( 5x + x(7 - 2x) \)
    3. \( 6r2 - 2r(r - 5) \)
    4. \( a(a + 3) + 5a(a - 2) \)
    5. \( 6y(y + 1) - 3y(y + 2) \)
    6. \( 4x(2x - 3) - 3x(x + 2) \)
    7. \( 2x^2(x - 5) - x(3x^2 - 2) \)
    8. \(x(x - 1) + x(2x + 3) - 2x(3x + 1) \)

Vermenigvuldiging van algebraïese uitdrukkings

Vermenigvuldig veelterme met eenterme

    1. Bereken \(3 \times 38\) en \(3 \times 62\) en tel die twee antwoorde bymekaar.
    2. Tel 38 en 62 bymekaar en vermenigvuldig dan die antwoord met 3.
    3. As jy nie dieselfde antwoord vir (a) en (b) gekry het nie, het jy 'n fout gemaak. Doen dit weer en weer tot jy dit regkry.

Die feit dat jy dieselfde antwoord in vraag 1(a) en 1(b) kry as jy korrek gewerk het, is 'n voorbeeld van die dverspreidingseienskap.

Die verspreidingseienskap kan soos volg beskryf word:

\(a(b + c) = ab + ac\) en

\(a(b - c) = ab - ac\),

waar \(a, ~b\) en \(c\) enige getalle kan wees.

Wat jy in vraag 1 gesien het, was dat \(3 \times 100 = 3 \times 38 + 3 \times 62\).

Dit kan ook uitgedruk word deur \(3(38 + 62) = 3 \times 38 + 3 \times 62\) te skryf.

    1. Bereken \(10 \times 56\)
    2. Bereken \(10 \times 16 + 10 \times 40\)
    1. Skryf enige twee getalle kleiner as 100 neer. Kom ons noem hulle \(x\) en \(y\). Tel jou twee getalle bymekaar en vermenigvuldig die antwoord met 3.

    2. Bereken \(3 \times x \) en \(3 \times y\) en tel die twee antwoorde bymekaar.

    3. As jy nie dieselfde antwoord vir (a) en (b) kry nie, het jy iewers 'n fout gemaak. Maak jou werk reg.
  3. Voltooi die tabel.

    \(x\)

    12

    50

    5

    \(y\)

    4

    30

    10

    \(5x - 5y\)

    \(5(x - y)\)

    \(5x + 5y\)

    \(5(x + y)\)

    Om die rekenvoorskrif \(5(x + y)\) uit te voer is nie die enigste manier waarop jy kan uitvind wat die waarde van \(5(x + y)\) is vir enige gegewe waardes van \(x\) en \(y\) nie. Jy kan ook \(5x + 5y\) gebruik. In hierdie geval sal jy 5 eers met \(x\) maal, en dan met y voor jy optel.

    1. Vir \(x = 10\) en \(y = 20\), evalueer \(8(x +y)\) deur eers 10 en 20 bymekaar te tel en dan met 8 te vermenigvuldig.
    2. Evalueer nou \(8(x +y)\) deur \(8x + 8y\),te bepaal, met ander woorde bereken eers \(8 \times 10\) en \(8 \times 20\).
  5. In vraag 5 het jy \(8(x +y)\) op twee verskillende maniere geëvalueer vir die gegewe waardes van \(x\) en \(y\). Evalueer nou ook \(20(x - y)\) op twee verskillende maniere vir \(x = 5\) en \(y = 3\).
  6. Gebruik die verspreidingseienskap in elk van die volgende gevalle om 'n ander uitdrukking te maak wat ekwivalent is aan die gegewe uitdrukking.
    1. \(a(b + c) \)
    2. \(a(b + c + d) \)
    3. \(x(x + 1) \)
    4. \(x(x^2 + x + 1)\)
    5. \( x(x^3 + x^2 + x + 1) \)

      Wat jy in hierdie vraag doen word soms "vermenigvuldiging van 'n veelterm met 'n eenterm" genoem.

      Jy kan ook sê dat jy elke keer die uitdrukking uitbrei, of dat jy 'n ekwivalente uitdrukking in uitgebreide vorm skryf.

    6. \(x^2(x^2 - x + 3) \)
    7. \( 2x^2(3x2 + 2)\)
    8. \(3x^3(2x^2 + 4x - 5) \)
    9. \( -2x^4(x^3 - 2x^2 - 4x + 5) \)
    10. \(a^2b(a^3 - a^2 + a + 1) \)
    11. \(x^2y^3(3x^2y + xy^2 - y) \)
    12. \( -2x(x^3 - y^3) \)
    13. \( 2a^2b(3a^2 + 2a^2b^2 + 4b^2) \)
    14. \(2ab^2(3a^3 - 1) \)
  7. Brei die dele van elke uitdrukking uit en vereenvoudig. Evalueer dan die uitdrukking

    vir \(x = 5\).

    1. \( 5(x - 2) + 3(x + 4) \)
    2. \( x(x + 4) - 4 (x + 4)\)
    3. \(x(x - 4) + 4(x - 4) \)
    4. \( x(x^2 + 3x + 9) - 3(x^2 + 3x + 9) \)
    5. \( x(x^2 - 3x + 9) + 3(x^2 - 3x + 9) \)
    6. \(x^2(x^2 - 3x + 4) - x(x^3 + 4x2 + 2x + 3) \)
  8. Skryf in uitgebreide vorm.
    1. \( x(x^2 + 2xy + y^2) + y(x^2 + 2xy + y^2) \)
    2. \( x^2y(x^2 - 2xy + y^2) - xy^2(2x^2 - 3xy - y^2) \)
    3. \( ab^2c(b^2c^2 - ac) + b^2c^4(a^2 + abc^2) \)
    4. \(p^2q(pq^2 + p + q) + pq(p - q^2) \)

Kwadrate en derdemagte en wortels van eenterme

  1. Evalueer elk van die volgende uitdrukkings vir \(x = 2, ~x = 5\) en \(x = 10\).
    1. \( (3x)^2 \)
    2. \(9x^2\)
    3. \((2x)^2\)
    4. \(4x^2 \)
    5. \((2x)^3\)
    6. \(8x^3\)
    7. \( (2x + 3x)^2 \)
    8. \((10x - 7x)^2 \)
  2. Skryf 'n ekwivalente eenterm sonder hakies.
    1. \((5x)^2 \)
    2. \((5x)^3\)
    3. \((20x)^2\)
    4. \( (10x)^3 \)
    5. \( (2x + 7x)^2 \)
    6. \( (20x - 13x)^3\)

Die vierkantswortel van \(16x^2\) is \(4x\), want \((4x)^2 = 16x^2\).

  1. Skryf die vierkantswortel van elk van die volgende uitdrukkings neer.
    1. \(\sqrt{(7x)^2}\)
    2. \(\sqrt{(9x)^2}\)
    3. \(\sqrt{(20x)^2}\)
    4. \(\sqrt{100x^2}\)
    5. \(\sqrt{(20x -15x)^2}\)
    6. \(\sqrt{25x^2}\)
    7. \(\sqrt{(21x - 16x )^2}\)
    8. \(\sqrt{(5x)^2}\)

Die derdemagswortel van \(64x^3\) is \(4x\), want \((4x)^3 = 64x^3\)

  1. Skryf die derdemagswortel van elk van die volgende uitdrukkings neer:
    1. \(\sqrt[3]{(7x)^3}\)
    2. \(\sqrt[3]{(27x)^3}\)
    3. \(\sqrt[3]{(20x)^3}\)
    4. \(\sqrt[3]{1000x^3}\)
    5. \(\sqrt[3]{(20x - 15x)^3}\)
    6. \(\sqrt[3]{125x^3}\)

Deel veelterme deur heelgetalle en eenterme

  1. Voltooi die tabel.

    \(x\)

    20

    10

    5

    -5

    -10

    -20

    \((100x - 5x^2) \div 5x\)

    \(20 - x\)

    Kan jy jou waarnemings verduidelik?

    1. R240 prysgeld moet gelykop tussen 20 netbalspelers verdeel word. Hoeveel moet elke speler kry?
    2. Mpho het besluit om die volgende berekeninge te doen: (140 \div 20) + (100 \div 20).
      Moenie Mpho se berekeninge doen nie, maar dink hieroor:
      Sal Mpho dieselfde antwoord kry wat jy vir vraag (a) gekry het?

      \((140 \div 20) + (100 \div 20)\)

    3. (c) Gert het besluit om die volgende berekeninge te doen: \((240 \div 12) + (240 \div 8)\).
      Sonder om die berekeninge te doen, sê of Gert dieselfde antwoord sal kry wat jy
      vir vraag (a) gekry het.

      \((240 \div 12) + (240 \div 8)\)

  3. Doen die nodige berekeninge om uit te vind of die volgende stellings waar of onwaar is:
    1. \((140 + 100) \div 20 = (140 \div 20) + (100 \div 20)\)
    2. \( 240 \div (12 + 8) = (240 \div 12) + (240 \div 8)\)
    3. \( (300 - 60) \div 20 = (300 \div 20) - (60 \div 20)\)

Deling is regs-distributief oor optel en aftrek, byvoorbeeld \((2 + 3) \div 5 = (2 \div 5) + (3 \div 5)\). Die deelteken is regs van die hakies. Maar deling is nie links-distributief nie, byvoorbeeld 10 ÷ (2 + 4) ≠ (10 ÷ 2) + (10 ÷ 4).

Nog voorbeelde: \((200 + 40) \div 20 = (200 \div 20) + (40 \div 20) = 10 + 2 = 12\), en

\((500 + 200 - 300) \div 50 = (500 \div 50) + (200 \div 50) - (300 \div 50)\)

  1. Evalueer elke uitdrukking vir \(x = 2\) en \(x = 10\)
    1. \((10x^2 + 5x) \div 5 \)
    2. \( (10x^2 \div 5) + (5x \div 5) \)
    3. \( 2x^2 + x \)
    4. \((10x^2 + 5x) \div 5x \)
    5. \((10x^2 \div 5x) + (5x \div 5x) \)
    6. \(2x + 1 \)

Die verspreidingseienskap van deling kan soos volg uitgedruk word:

\((x + y) \div z = (x \div z) + (y \div z)\)

\((x - y) \div z = (x \div z) - (y \div z)\)

    1. Moenie enige berekeninge doen nie. Watter van die volgende uitdrukkings dink jy sal dieselfde waarde as \((10x^2 + 20x - 15) \div 5\), for \(x = 10\) sowel as \(x = 2\) hê?

      \(2x^2 + 20x - 15 \\ 10x^2 + 20x - 3 \\ 2x^2 + 4x - 3\)

    2. Doen die nodige berekeninge om jou antwoord te kontroleer.
  2. Vereenvoudig:
    1. \((2x + 2y) \div 2 \)
    2. \((4x + 8y) \div 4 \)
    3. \( (20xy + 16x) \div 4x \)
    4. \( (42x - 6) \div 6 \)
    5. \( (28x^4 - 7x^3 + x^2) \div x^2 \)
    6. \( (24x^2 + 16x) \div 8x\)
    7. \((30x^2 - 24x) \div 3x \)
  3. Vereenvoudig:
    1. \((9x^2 + xy) \div xy \)
    2. \((48a - 30ab + 16ab^2) \div 2a \)
    3. \( (3a^3 +a^2) \div a^2 \)
    4. \((13a - 17ab) \div a \)
    5. \((3a^2 + 5a^3) \div a \)
    6. \((39a^2b + 13ab + ab^2) \div ab \)

Die instruksie \(72 \div 6\) kan ook as \(\frac{72}{6}\) geskryf word.

Hierdie skryfwyse, wat net soos die skryfwyse vir gewone breuke lyk, word dikwels gebruik om deling aan te dui.

In plaas van \( (10x^2 + 20x - 15) \div 5 \) kan ons dus \( \frac{10x^2 + 20x - 15}{5}\).

Aangesien \( (10x^2 + 20x - 15) \div 5 \) ekwivalent is aan \( (10x^2 \div 5) + (20x \div 5) - (15 \div 5) \),

\( \frac{10x^2 + 20x - 15}{5}\) ekwivalent aan \( \frac{10x^2}{5} + \frac{20x}{5} - \frac{15}{5} \).

  1. Vind 'n eenvoudiger ekwivalente uitdrukking vir elk van die volgende uitdrukkings (hierdie uitdrukkings maak duidelik nie sin as \(x = 0\) nie).
    1. \( \frac{16x^2 - 12x}{4x}\)
    2. \(\frac{16x^3 - 12x}{4x}\)
    3. \(\frac{16x^3 - 12x^2}{4x}\)
    4. \(\frac{16x^3 - 12x^2}{4x^2}\)
    5. \(\frac{16x^3 - 12x^2}{2x}\)
    6. \(\frac{16x^3 - 12x}{8x}\)
  2. Kontroleer of elk van die volgende stellings waar is vir \(x = 10; ~x = 100;~ x = 5; ~x = 1\) en \(x = -2\).
    1. \(\frac{x^2}{x} = x\)
    2. \(\frac{x^3}{x} = x^2\)
    3. \(\frac{x^3}{x^2} = x\)
    4. \(\frac{5x^3}{5x} = 5x^2\)
    5. \(\frac{5x^3}{x} = 5^3\)
    6. \(\frac{5x}{x^2} = \frac{5}{x} \)
    1. Verduidelik waarom \(\frac{100x - 5x^2}{5x} = 20-x\) vir alle waardes van \(x\) behalwe \(x = 0\).
    2. Verduidelik waarom \(\frac{15x^2 - 10x}{5x}\) ekwivalent is aan \(3x -2\), behalwe as \(x = 0\).
  4. Voltooi die tabel. (Wenk: Vereenvoudig eers die uitdrukkings om dinge vir jouself makliker te maak!).

    \(x\)

    1,5

    2,8

    -3,1

    0,72

    \(\frac{3x + 12}{3}\)

    \(\frac{18x^2 + 6}{6}\)

    \(\frac{5x^2 + 7x}{x}\)

  5. Vereenvoudig elke uitdrukking tot die ekwivalente vorm wat so min as moontlik bewerkings sal vereis.
    1. \( \frac{3a + a^2}{a}\)
    2. \( \frac{x^3 + 2x^2 -x}{x}\)
    3. \( \frac{2a +12ab}{2a}\)
    4. \( \frac{12x^2 + 10x}{2x}\)
    5. \( \frac{21ab -14a^a}{7a}\)
    6. \( \frac{15a^2b +30ab^2}{5ab}\)
    7. \( \frac{7x^3 + 21x^2}{7x^2}\)
    8. \( \frac{3x^2+9x}{3x}\)
  6. Los die vergelykings op.
    1. \( \frac{3x^2+15x}{3x} = 20\)
    2. \( \frac{30x - 18x^2}{6x} = 2\)
  7. Voltooi die tabel.

    \(x\)

    1,1

    1,2

    1,3

    1,4

    1,5

    (a)

    \( \frac{x^3 + 2x^2 -x}{x}\)

    (b)

    \( \frac{7x^3 + 21x^2}{7x^2}\)

    (c)

    \(\frac{50x^2 + 5x}{5x}\)
  8. Vereenvoudig die volgende uitdrukkings.
    1. \( \frac{3x(5x + 4) + 6 x(5x + 3)}{5x}\)
    2. \( \frac{14x^2 − 28x}{7x} + \frac{24x - 18x^2}{3x}\)

Produkte en kwadrate van tweeterme

Hoe kan ons die uitgebreide vorm van \( {\bf(x + 2)(x + 3)}\)?

Om \((x+ 2)(x + 3)\)uit te brei, kan jy eers \((x + 2)\) hou soos dit is en die verspreidingseienskap toepas:

\((x + 2)(x + 3) \\ = (x + 2)x + (x + 2)3 \\ = x^2 + 2x + 3x + 6 \\ = x^2 + 5x + 6\)

  1. Beskryf hoe jy kan kontroleer of \((x + 2)(x + 3)\) werklik ekwivalent is aan \(x^2 + 5x + 6\).

Om \((x - y)(x + 3y)\) uit te brei kan dit as \( (x - y)x + (x - y)3y\) geskryf word en die twee dele kan dan verder uitgebrei word.

\((x - y)(x + 3y) \\ = (x - y)x + (x - y)3y \\ = x^2 - xy + 3xy - 3y^2 \\ = x^2 + 2xy - 3y^2\)

  1. Doen ’n paar berekeninge om te kontroleer of \((x - y)(x + 3y)\) en \(x^2 + 2xy - 3y^2\) kwivalent is. Skryf die resultate van jou berekeninge in die tabel.

    \(x\)

    \(y\)
  2. Brei elkeen van hierdie uitdrukkings uit.
    1. \((x + 3)(x + 4)\)
    2. \((x + 3)(4 - x)\)
    3. \( (x + 3)(x - 5)\)
    4. \((2x^2 + 1)(3x - 4)\)
    5. \((x + y)(x + 2y) \)
    6. \((a -b)(2a + 3b)\)
    7. \( (k^2 + m)(k^2 + 2m)\)
    8. \((2x + 3)(2x - 3)\)
    9. \((5x + 2)(5x - 2) \)
    10. \((ax - by)(ax + by)\)
  3. Brei elkeen van hierdie uitdrukkings uit.
    1. \( (a+ b)(a + b)\)
    2. \( (a - b)(a - b)\)
    3. \((x + y)(x + y)\)
    4. \((x - y)(x - y)\)
    5. \((2a + 3b)(2a + 3b)\)
    6. \((2a - 3b)(2a - 3b)\)
    7. \( (5x +2y)(5x +2y)\)
    8. \( (5x - 2y)(5x - 2y)\)
    9. \((ax + b)(ax + b)\)
    10. \((ax - b)(ax - b)\)
  4. Kan jy raai wat die antwoord op elk van die volgende vrae sal wees sonder om dit uit te werk soos jy in vraag 3 gemaak het? Probeer dit en kontroleer dan jou antwoorde.

    Brei hierdie uitdrukkings uit:

    1. \( (m + n)(m + n)\)
    2. \((m - n)(m - n)\)
    3. \((3x + 2y)( 3x + 2y)\)
    4. \( (3x - 2y)( 3x - 2y)\)

Al die uitdrukkings in vraag 4 en 5 is kwadrate van tweeterme , byvoorbeeld \((ax + b)^2\) en \((ax - b)^2\)

  1. Brei uit:
    1. \( (ax + b)^2\)
    2. \( (ax - b)^2\)
    3. \((2s + 5)^2\)
    4. \((2s - 5)^2\)
    5. \((ax + by)^2\)
    6. \((ax - by)2\)
    7. \((2s + 5r)^2 \)
    8. \((2s - 5r)^2 \)
  2. Brei uit en vereenvoudig.
    1. \( (4x + 3)(6x + 4) + (3x + 2)(8x + 5) \)
    2. \((4x + 3)(6x + 4) - (3x + 2)(8x + 5) \)

Vervanging in algebraã¯ese uitdrukkings

  1. In vraag 2 moet jy die waardes van verskillende uitdrukkings vir ’n paar gegewe waardes van \(x\). bepaal. Kyk mooi na die verskillende uitdrukkings in die tabel. Dink jy party van hulle kan dalk ekwivalent wees? Vereenvoudig die langer uitdrukking en kyk of jy die korter uitdrukking kry.
  2. Voltooi die tabel.

    \(x\)

    13

    -13

    2,5

    10

    (a)

    \((2x + 3)(3x - 5)\)

    (b)

    \(10x^2 + 5x - 7 + 3x^2 - 4x - 3\)

    (c)

    \(3(10x^2 - 5x + 2) - 5x(6x - 4)\)

    (d)

    \(13x^2 + x - 10\)

    (e)

    \(6x^2 - x - 15\)

    (f)

    \(5x + 6\)
  3. Voltooi hierdie tabel.

    \(x\)

    1

    2

    3

    4

    (a)

    \((2x + 3)(5x - 3) + (10x + 9)(1 - x)\)

    (b)

    \( \frac{9x^2 + 30x}{3x}\)

    (c)

    \(3x(10x - 5) - 5x(6x - 4)\)

    (d)

    \(5x(4x + 3) - 2x(7 + 13x) + 2x(3x + 2)\)
  4. Beskryf enige patrone wat jy in jou antwoorde vir vraag 3 raaksien.
  5. Voltooi hierdie tabel.

    \(x\)

    1,5

    2,5

    3,5

    4,5

    (a)

    \((2x + 3)(5x - 3) + (10x + 9)(1 - x)\)

    (b)

    \( \frac{9x^2 + 30x}{3x}\)

    (c)

    \(3x(10x - 5) - 5x(6x - 4)\)

    (d)

    \(5x(4x + 3) - 2x(7 + 13x) + 2x(3x + 2)\)