Eksponente

In hierdie hoofstuk sal jy werk oor eksponente wat jy in vorige grade gedoen het, hersien. Jy sal ook leer wat gebeur wanneer ’n getal tot ’n mag wat ’n negatiewe getal is, verhef word en jy sal ook eenvoudige vergelykings in eksponensiële vorm oplos.

In Graad 8 het jy van wetenskaplike notasie geleer. In hierdie hoofstuk sal ons die wetenskaplike notasie uitbrei om baie klein getalle soos 0,0000123 in te sluit.

Hersiening

Jy weet reeds dat eksponente ’n kort manier is om herhaalde vermenigvuldiging van dieselfde getal met homself te beskryf, byvoorbeeld \( 5 \times 5 \times 5 = 5^3\). Die eksponent, wat in hierdie voorbeeld 3 is, staan vir hoeveel keer die waarde vermenigvuldig word. Die getal wat vermenigvuldig word, wat in hierdie voorbeeld 5 is, word die grondtal genoem.

As daar gemengde bewerkings is, moet die magte voor vermenigvuldiging en deling bereken word, byvoorbeeld \(5^2 \times 3^2 = 25 \times 9\).

Jy het in vorige grade ook oor die eienskappe van eksponente geleer:

Einskap

Voorbeeld

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

\(3^2\times 3^3 = 3^{2+3}=3^5\)

\(a^m \div a^n =a^{m-n}\)

\(5^4 \div 5^2 = 5^{4-2} =5^2\)

\((a^m)^n = a^{m+n}\)

\((2^3)^2 = 2^{2 \times 3} =2^6\)

\((a \times t)^n = a^n \times t^n\)

\((3 \times 4)^2 = 3^2 \times 4^2\)

\(a^0 = 1\)

\(32^0 =1\)

Die eksponensiã‹le vorm van ’n getal

  1. Skryf die volgende in eksponensiële notasie:

    1. \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)

    2. \(s \times s \times s \times s \)

    3. \( (-6) \times (-6) \times (-6)\)

    4. \( 2\times 2 \times 2 \times 2 \times s\times s \times s \times s\)

    5. \( 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7\)

    6. \( 500 \times (1,02) \times (1,02)\)

  2. Skryf elkeen van die getalle in eksponensiële notasie, op ’n paar verskillende maniere indien moontlik:

    1. 81

    2. 125

    3. 1 000

    4. 64

    5. 216

    6. 1 024

Volgorde van bewerkings

  1. Bereken die waarde van \(7^2 - 4\).

    Bathabile het die berekening soos volg gedoen: \( 7^2 - 4 = 14 - 4 = 10\)

    Nathaniel het die berekening anders gedoen: \( 7^2 - 4 = 49 - 4 = 45\)

    Watter leerder het die berekening korrek gedoen? Gee redes vir jou antwoord.

  2. Bereken: \(5 + 3 \times 2^2 - 10\), met verduidelikings.

  3. Verduidelik hoe om \( 2^6 - 6^2\) te bereken.

  4. Verduidelik hoe om \( (4 + 1)^2 + 8 \times \sqrt[3]{64} \) te bereken

Eienskappe van eksponente

  1. Gebruik die eienskappe van eksponente om die volgende te bereken:

    1. \( 2^2 \times 2^4\)

    2. \( 3^4 \div 3^2\)

    3. \( 3^0 + 3^4\)

    4. \((2^3)^2\)

    5. \((2 \times 5)^2\)

    6. \( (2^2 \times 7)^3\)

  2. Voltooi die tabel. Vervang y met die gegewe getal. Die eerste kolom is as voorbeeld gedoen.

    \(y\)

    2

    3

    4

    5

    (a)

    \(y \times y^4\)

    \(2 \times 2 ^4\)

    \(= 2^{1+ 4}\)

    \(= 2^5\)

    \(= 32\)

    (b)

    \(y^2 \times y^3\)

    \(2^2 \times 2^3\)

    \(= 2 ^{2+ 3}\)

    \(= 4 \times 8\)

    = 32

    (c)

    \(y^5\)

    \(2^5 = 32\)

  3. Is die uitdrukkings \(y \times y^4; y ^2 \times y^3 \) en \(y^5\) ekwivalent? Verduidelik.

  4. Voltooi die tabel. Vervang \(y\)met die gegewe getal.

    \(y\)

    2

    3

    4

    5

    (a)

    \(y^4 \div y^2\)

    \(2^4 \div 2^2\)

    \(= 16 \div 4\)

    \(= 4\)

    (b)

    \(y^3 \div y^1 \)

    \(2^3 \div 2^1\)

    \(= 8 \div 2\)

    \(= 4\)

    (c)

    \(y^2\)

    \(2^{2}\) = 4

    1. Is \( y^4 \div y^2 = y^3 \div y^1 = y^2 \) volgens die tabel? Verduidelik waarom dit so is.

    2. Evalueer \(y^4 \div y^2 \) vir \(y = 15\).

  6. Voltooi die tabel:

    \(x\)

    2

    3

    4

    5

    (a)

    \(2 \times 5^x\)

    \(2 \times 5^2\)

    \(= 2 \times 25\)

    \(= 50\)

    (b)

    \((2 \times 5)^x\)

    \((2 \times 5)^2\)

    \(= 10^2\)

    \(= 100\)

    (c)

    \( 2^x \times 5^x\)

    \(2^2 \times 5^2\)

    \(= 4 \times 25\)

    \(= 100\)

    1. Volgens die tabel hier bo, is \(2 \times 5^x =(2 \times 5)^x\) ? Verduidelik waarom dit so is.

    2. Watter uitdrukkings in die tabel in vraag 6 is ekwivalent? Verduidelik.

  8. Hier onder is berekeninge wat Wilson as huiswerk gedoen het. Merk elke probleem as korrek of verkeerd en verduidelik die foute.

    1. \( b^3 \times b^ 8= b^{24}\)

    2. \((5x)^2 = 5x^2\)

    3. \((-6a) \times (-6a) \times (-6a) = (-6a)^3\)

Heelgetaleksponente

Tot dusver het jy slegs met positiewe eksponente gewerk. Maar wat gebeur wanneer ’n getal tot ’n mag wat ’n negatiewe getal is, verhef word? Wat beteken \(x −5\) byvoorbeeld? Ons wil hê die eienskap vir vermenigvuldiging van magte moet geld, byvoorbeeld \(x^5 \times x^{-5} = x^{5-5} = x^0 = 1\).

Omdat \(x^5 \times x^{-5} = 1 \), weet ons dat die vermenigvuldigingsinverse van \(x^5\) is.
\(x^5 \times \frac{1}{x^5} = 1 \) as x ≠ 0.
Dus is \(x^{-5} = \frac{1}{x^5} \)

Net so moet die eienskap vir deling van magte geld, byvoorbeeld \( \frac{x^3}{x^5} = x^{3-5} = x^{-2} \)

Maar ons weet dat \( \frac{x^3}{x^5} = \frac{1}{x^2} \) as i ≠ \( x^{-2} = \frac{1}{x^2} \).

Ons definieer \(x^{-n} = \frac{1}{x^n} \) vir \( x \neq 0\), \(n\) 'n natuurlike getal.

Negatiewe eksponente

  1. Voltooi die getalpatrone in die tabel:

    (a) \(2^4 = 16\) \(3^4=81\) \(4^4=256\) \(5^4 = 625\)
    (b) \(2^3 = 8\) \(3^3 = 27\) \(4^3 = 64\) \(5^3 = 125\)
    (c) \(2^2 =4\) \(3^2 = 9\) \(4^2 = 16\) \(5^2 = 25\)
    (d) \(2^1 = 2\) \(3^1 = 3\) \(4^1 = 4\) \(5^1 = 5\)
    (e) \(2^0 = \) \(3^0 = \) \(4^0 =\) \(5^0 =\)
    (f) \(2^{-1} = \) \(3^{-1} = \) \(4^{-1} = \) \(5^{-1} = \)
    (g) \(2^{-2} = \) \(3^{-2} = \) \(4{-2} = \) \(5^{-2} = \)
    (h) \(2^{-3} = \) \(3^{-3} = \) \(4^{-3} = \) \(5{-3} = \)

  2. Wat moet die betekenis van \( a^0 \) en \( a^{−1} \) wees om die struktuur van patrone?

    1. Gebruik ’n wetenskaplike sakrekenaar om die desimale waardes van die gegewe magte te bepaal.

      Voorbeeld: Om \(3^{-1} \) te bepaal, gebruik die sleutelvolgorde: \(3~ y^x~ 1~ \pm = \)

      Mag

      \(2^ {-1}\)

      \(5^ {-1}\)

      \((-2)^{-1}\)

      \((0,3)^{-1}\)

      \(0^{-1}\)

      \(10^{-1}\)

      \(10^{-2}\)

      Desimale waarde

    2. Verduidelik die betekenis van \(10^{-3}\).

  4. Bepaal die waarde van elkeen van die volgende op twee maniere:

    A. Deur die definisie van magte te gebruik (byvoorbeeld \(5^2 \times 5^ 0 = 25 \times 1 = 25\).)

    B. Deur die eienskappe van eksponente te gebruik (byvoorbeeld \(5^2 \times 5^0 = 5^{2 + 0} = 5^2 = 25\).)

    1. \((3^3)^{-2}\)
      Eerste manier:

      Tweede manier:

    2. \(4^2 \times 4^{-2}\)
      Eerste manier:

      Tweede manier:

    3. \(5^{-2} \times 5^{-1}\)
      Eerste manier:

      Tweede manier:

  5. Bereken die waarde van elkeen van die volgende. Druk jou antwoorde as gewone breuke uit.

    1. \(2^{-3}\)

    2. \(3^2 \times 3^{-2}\)

    3. \((2 +3)^{-2}\)

    4. \(3^{-2} \times 2^{-3}\)

    5. \(2^{-3} + 3^{-3}\)

    6. \(10^{-3}\)

    7. \(2^3 + 2^{-3}\)

    8. \((3^{-1})^{-1}\)

    9. \((2^{-3})^2\)

  6. Watter van die volgende is waar? Korrigeer enige stelling wat onwaar is.

    1. \( 6 ^{-1}= -6\)

    2. \(3x^{-2} = \frac{1}{3x^2}\)

    3. \(3^{-1}x^{-2} = \frac{1}{3x^2}\)

    4. \((ab)^{-2} = \frac{1}{a^2 b^2}\)

    5. \((\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2\)

    6. \((\frac{1}{3})^{-1} = 3 \)

Los eenvoudige eksponensiã«le vergelykings op

’n Eksponensiële vergelyking is ’n vergelyking waarin die veranderlike deel van die eksponent is. Wanneer jy dus eksponensiële vergelykings oplos, los jy vrae op van die vorm: “Tot watter mag moet die grondtal verhef word sodat die bewering waar is?”

Om hierdie soort vergelyking op te los, moet jy die volgende onthou:

As \(a^m = a^n\), dan \( m = n\).

Met ander woorde, as die grondtal aan weerskante van die vergelyking dieselfde is, is die eksponente dieselfde.

Voorbeeld:

\(3^x = 243\)

\(3^x = 3^5\) (herskryf deur dieselfde grondtal te gebruik)

\(x = 5\) (aangesien die grondtalle dieselfde is, stel ons die eksponente gelyk)

Party eksponensiële vergelykings is effens meer ingewikkeld:

Voorbeeld:

\(3^{x+3} = 243\)

\(3^{x+3} = 3^5 \)(herskryf deur dieselfde grondtal te gebruik)

\(x + 3 = 5\) (stel die eksponente gelyk)

x \(= 2\)

Kontroleer: LK \( 3^{2+3}=3^5 = 243\)

Onthou dat die eksponent ook negatief kan wees. Om sulke vergelykings op te los, volg jy egter dieselfde metode.

Voorbeeld:

\(2^x=\frac{1}{32}\)

\(2^x =2^{-5} \) (herskryf deur dieselfde grondtal te gebruik)

\(x = -5\) (stel die eksponente gelyk)

Los eksponensiã‹le vergelykings op

  1. Gebruik die tabel om die vrae wat volg te beantwoord.

    \(x\)

    2

    3

    4

    5

    \(2^x\)

    4

    8

    16

    32

    \(3^x\)

    9

    27

    81

    243

    \(5^x\)

    25

    125

    625

    3 125

    Vir watter waarde van x geld die volgende?

    1. \( 2^x = 32\)

    2. \(3^x = 81\)

    3. \(5^x = 3125\)

    4. \(2^x =8\)

    5. \(5^x =625\)

    6. \(3^x = 9\)

    7. \(5^{x+1} = 25\)

    8. \(3^{x+2}=27\)

    9. \(2^{x-1} = 8 \)

  2. Los die eksponensiële vergelykings op. Jy kan jou sakrekenaar gebruik indien nodig.

    1. \(4^x = \frac{1}{64}\)

    2. \(6^{2x}=1 296\)

    3. \(2^{x-1} = \frac{1}{8}\)

    4. \(3^{x+2}= \frac{1}{729}\)

    5. \(5^{x+1}= 15 625\)

    6. \(2^{x+3}=\frac{1}{4}\)

    7. \(4^{x+3}=\frac{1}{256}\)

    8. \(3^{2-x} =81\)

    9. \(5^{3x}= \frac{1}{125}\)

Wetenskaplike notasie

Wetenskaplike notasie is ’n manier om getalle te skryf wat te groot of te klein is om duidelik in desimale vorm geskryf te word. Die middellyn van ’n waterstofatoom is byvoorbeeld ’n baie klein getal. Dit is 0,000000053 mm. Die afstand van die Son na die Aarde is gemiddeld 150 000 000 km.

In wetenskaplike notasie word die middellyn van die waterstofatoom geskryf as \( 5,3 \times 10^{-8}\) en die gemiddelde afstand van die Son na die Aarde as \(1,5 \times 10^{8}\). Dit is makliker om getalle soos hierdie te vergelyk en te bereken, aangesien dit baie lastig is om die nulle te tel wanneer jy met sulke getalle werk.

Beskou die voorbeelde hieronder:

Desimale notasie

Wetenskaplike notasie

6 130 000

\(6,13 \times 10^6\)

0,00001234

\(1,234 \times 10^{-5}\)

’n Getal wat in wetenskaplike notasie geskryf word, word as die produk van twee getalle geskryf in die vorm ± \(a \times 10^n\) waar a ’n desimale getal tussen 1 en 10 en n ’n heelgetal is

Enige getal kan in wetenskaplike notasie geskryf word, byvoorbeeld:

\(40 = 4,0 \times 10\)

\(2 = 2 \times 10^0\)

Die desimale getal 324 000 000 word in wetenskaplike notasie as \(3,24 \times 10 ^8\) geskryf, omdat die desimale komma 8 plekke na links geskuif word om die getal 3,24 te vorm.

Die desimale getal 0,00000065 in wetenskaplike notasie geskryf, is \(6,5 \times 10^{-7}\), omdat die desimale komma 7 plekke na regs geskuif word om die getal 6,5 te vorm.

Skryf baie klein en baie groot getalle

  1. Druk die volgende getalle uit in wetenskaplike notasie:

    1. 134,56

    2. 0,0000005678

    3. 876 500 000

    4. 0,0000000000321

    5. 0,006789

    6. 89 100 000 000 000

    7. 0,001

    8. 100

  2. Druk die volgende getalle uit in gewone desimale notasie:

    1. \(1,234 \times 10^6\)

    2. \(5 \times 10^{-1}\)

    3. \( 4,5 \times 10^5\)

    4. \( 6,543 \times 10^{-11}\)

  3. Waarom sê ons dat \(34 \times 10^3\) nie in wetenskaplike notasie geskryf is nie? Herskryf dit in wetenskaplike notasie.

  4. Is elkeen van hierdie getalle in wetenskaplike notasie geskryf? Indien nie, herskryf dit sodat dit in wetenskaplike notasie is.

    1. \( 90,3 \times 10^{-5}\)

    2. \(100 \times 10^2\)

    3. \(1,36\times 10^5\)

    4. \(2,01 \times 10^{-2}\)

    5. \(0,01 \times 10^3\)

    6. \(0,6 \times 10^8\)

Berekeninge deur wetenskaplike notasie te gebruik

Voorbeeld:

\( 123 ~000 \times 4 ~560 ~000\)

\(= 1,23 \times 10^{5} \times 4, 56 \times 10^6\) (skryf in wetenskaplike notasie)

\(= 1,23 \times 4,56 \times 10^5 \times 10^6\) (vermenigvuldiging is kommutatief)

\(= 5,6088 \times 10^{11}\) (gebruik ’n sakrekenaar om die desimale te vermenigvuldig, maar tel die magte in jou kop bymekaar)

  1. Gebruik wetenskaplike notasie om elkeen van die volgende te bereken. Gee die antwoord in wetenskaplike notasie.

    1. \( 135 ~000 \times 246 ~000 ~000\)

    2. \( 987 ~654 \times 123 ~456\)

    3. \( 0,000065 \times 0,000216 \)

    4. \( 0,000000639 \times 0,0000587\)

    Voorbeeld:

    \( 5 \times 10^3 + 4 \times 10^4\)

    \(= 0,5 \times 10^4 + 4 \times 10^4\) (vorm gelyksoortige terme)

    \(= 4,5 \times 10^4\) (kombineer gelyksoortige terme)

  2. Gebruik wetenskaplike notasie om elkeen van die volgende te bereken. Gee die antwoord in wetenskaplike notasie.

    1. \( 7,16 \times 10^5 +2,3 \times 10^3\)

    2. \(2,3 \times 10^{-4} + 6,5 \times 10^{-3}\)

    3. \( 4,31 \times 10^7 + 1,57 \times 10^6\)

    4. \( 6,13 \times 10^{-10} + 3,89 \times 10^{-8}\)