Numeriese en meetkundige patrone
In hierdie hoofstuk gaan jy leer om numeriese en meetkundige patrone te herken, te beskryf, uit te brei en veralgemenings daaroor te maak. Patrone stel ons in staat om voorspellings te maak. Jy gaan ook met verskillende voorstellings van patrone, soos vloeidiagramme en tabelle, werk.
Die term–term-verband in ’n ry
Van een term na die volgende
’n Lys getalle wat ’n patroon vorm word ’n ry genoem. Elke getal in ’n ry word ’n term van die ry genoem. Die eerste getal is die eerste term van die ry.
Skryf die volgende drie getalle in elk van die rye hier onder neer. Verduidelik ook in elke geval skriftelik hoe jy uitgewerk het wat die getalle moet wees.
- ry A: 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23;
- ry B: 4; 5; 8; 13; 20; 29; 40;
- ry C: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;
- ry D: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19;
- ry E: 4; 5; 7; 10; 14; 19; 25; 32; 40;
- ry F: 2; 6; 18; 54; 162; 486;
- ry G: 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33;
- ry H: 2; 4; 8; 16; 32; 64;
Getalle wat op mekaar volg word opeenvolgende getla genoem.
Bytel of aftrek van dieselfde getal
- Watter rye op die vorige bladsy is van dieselfde soort as ry A? Verduidelik jou antwoord.
Amanda verduidelik hoe sy uitgewerk het om ry A uit te brei:
Ek het na die eerste twee terme in die ry gekyk en gesien dat ek 3 nodig het om van 2 na 5 te gaan. Ek het verder gekyk en gesien dat ek ook 3 nodig het om van 5 na 8 te gaan. Ek het dit getoets en dit het vir al die daaropvolgende getalle gewerk. Dit het vir my ’n reël gegee wat ek kon gebruik om die ry te verleng: tel 3 by elke getal om die volgende getal in die patroon te kry.
Die getal wat ons bytel om die volgende term in die ry te kry word ’n verskil genoem. As die getal wat ons bytel dwarsdeur die ry dieselfde bly, sê ons dit is ’n konstante verskil.
\[14 - 3 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 3 = 5; 5 - 3 = 2\]
-
Skryf ’n reël om die verband tussen die
getalle in die ry te beskryf. Gebruik die reël om
die ontbrekende getalle in die ry te bereken.
- 1; 8; 15;______;______;______;______;______;...
- 10 020;______;______;______; 9 980; 9 970;______; 9 940; 9 930; ...
- 1,5; 3,0; 4,5;______;______;______;______;______;...
- 2,2; 4,0; 5,8;______;______;______;______;______;...
- \( 45; \frac{3}{4}; 46; \frac{3}{4}; 47; \frac{1}{2}; 48;\text{______;______;______;______;______;} \)...
- ______; 100,49; 100,38; 100,27; ______;______; 99,94; 99,83; 99,72;...
- Voltooi die tabel.
Invoergetal
1
2
3
4
5
12
n
Invoergetal + 7
8
11
15
30
Vermenigvuldig of deel met dieselfde getal
Kyk weer ’n keer na ry F: 2; 6; 18; 54; 162; 486; ...
Piet verduidelik hoe hy uitgewerk het om die ry voort te sit:
Ek het na die eerste twee terme in die ry gekyk en \(2 \times ? = 6\) geskryf. Toe ek die eerste getal met 3 vermenigvuldig het, het ek die tweede getal gekry:\(2 \times 3 = 6\). Ek het toe gekyk of ek die volgende getal kan kry as ek 6 met 3 vermenigvuldig: \(6 \times 3 = 18\). Ek het op daardie manier aangehou toets: \( 18 \times 3 = 54; 54 \times 3 = 162\) en so aan. Dit het vir my ’n reël gegee wat ek kan gebruik om die ry uit te brei en my reël was: vermenigvuldig elke getal met 3 om die volgende getal in die ry te bereken.i
Zinhle sê jy kan ook die patroon kry deur van agter af vorentoe te werk en elke keer deur 3 te deel:
\[ 54 \div 3 = 18; 18 \div 3 = 6;6 \div 3= 2\]
Die getal waarmee ons vermenigvuldig om die volgende term in die ry te kry word ’n verhouding genoem. As die getal waarmee ons vermenigvuldig dwarsdeur die ry dieselfde bly, sê ons dit is ’n konstante verhouding.
- Kontroleer of Piet se redenasie werk vir ry H: 2; 4; 8; 16; 32; 64; ...
- Beskryf, in woorde, die reël om die volgende getal in die ry te bepaal. Skryf ook die
volgende vyf terme van die ry neer as die patroon voortgesit word.
- 1; 10; 100; 1 000;
- 16; 8; 4; 2;
- 7; -21; 63; -189;
- 3; 12, 48;
- 2 187; -729; 243; -81;
- 1; 10; 100; 1 000;
-
- Vul die ontbrekende uitvoer- en invoergetalle in
Wat is die term-tot-term-reël vir die uitvoergetalle hier, \(+ 6 \text{ of } \times 6?\)
- Voltooi die tabel.
Invoergetalle
1
2
3
4
5
12
Uitvoergetalle
6
24
36
\(6x\)
- Vul die ontbrekende uitvoer- en invoergetalle in
Nie bytel van of vermenigvuldiging met dieselfde getal nie
- Kyk weer na rye A tot H en beantwoord die vrae wat volg:
Ry A: 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; ...
Ry B: 4; 5; 8; 13; 20; 29; 40;...
Ry C: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;...
Ry D: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; ...
Ry E: 4; 5; 7; 10; 14; 19; 25; 32; 40;...
Ry F: 2; 6; 18; 54; 162; 486;...
Ry G: 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33;...
Ry H: 2; 4; 8; 16; 32; 64;...
- Watter ander ry(e) is soos ry B? Verduidelik.
- Hoe verskil rye B en E van die ander rye?
- Watter ander ry(e) is soos ry B? Verduidelik.
Daar is rye waar daar nie ’n konstante verskil of ’n konstante verhouding tussen opeenvolgende terme is nie maar daar bestaan wel ’n patroon, soos in die geval van rye B en E.
- Kyk na hierdie ry: 10; 17; 26; 37; 50; ...
- Skryf die volgende vyf getalle in die ry neer.
- Eric het gesien dat hy die volgende term in die ry soos volg kan bereken: 10 + 7 = 17; 17 + 9 = 26; 26 + 11 = 37. Gebruik Eric se metode om te kontroleer
of jou getalle in vraag (a) hier bo reg is.
- Skryf die volgende vyf getalle in die ry neer.
- Watter van die stellings hier onder kan Eric gebruik om die verband tussen die getalle
in die ry in vraag 2 te beskryf? Toets die reël vir die eerste drie terme van die ry en
skryf dan bloot “ja” of “nee” langs elke stelling neer.
- Vermeerder elke keer die verskil tussen opeenvolgende terme met 2.
- Vermeerder elke keer die verskil tussen opeenvolgende terme met 1.
- Tel twee meer by as wat jy bygetel het om die vorige term te kry.
- Vermeerder elke keer die verskil tussen opeenvolgende terme met 2.
- Verskaf ’n reël om die verband tussen die getalle in die ry te beskryf. Gebruik
dan jou reël om die volgende vyf getalle in die ry te bereken.
- 1; 4; 9; 16; 25;
- 2; 13; 26; 41; 58;
- 4; 14; 29; 49; 74;
- 5; 6; 8; 11; 15; 20;
- 1; 4; 9; 16; 25;
Die posisie–term-verband in ’n ry
Gebruik posisie om voorspellings te maak
- Kyk weer na rye A tot H. Watter ry(e) is van dieselfde soort as ry A? Verduidelik.
Ry A: 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23;...
Ry B: 4; 5; 8; 13; 20; 29; 40;...
Ry C: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;...
Ry D: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19;...
Ry E: 4; 5; 7; 10; 14; 19; 25; 32; 40;...
Ry F: 2; 6; 18; 54; 162; 486; ...
Ry G: 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33;...
Ry H: 2; 4; 8; 16; 32; 64;...
Sizwe het nagedink oor Amanda en Tamara se verduidelikings van hoe hulle die reël vir ry A uitgewerk het en hy het ’n tabel opgestel. Hy stem saam met hulle maar hy sê daar is nog ’n reël wat ook sal werk. Hy verduidelik:
My tabel wys die terme in die ry en die verskil tussen opeenvolgende terme:
|
1ste term |
2de term |
3de term |
4de term |
||||||||||||||||||
|
Ry A: |
5 |
8 |
11 |
14 |
|||||||||||||||||
|
verskille |
+3 |
+3 |
+3 |
+3 |
+3 |
+3 |
+3 |
+3 |
+3 |
||||||||||||
Sizwe sê die volgende reël sal ook werk:
Vermenigvuldig die posisie van die getal met 3 en tel 2 by die antwoord. Ek kan hierdie reël as ’n getallesin skryf: Posisie van die getal\(\bf{ \times 3 + 2}\). Ek gebruik my getallesin om te toets: \( {\bf1} \times 3 + 2 = 5; {\bf2} \times 3 + 2 = 8; {\bf3} \times 3 + 2 = 11 \)
-
- Waarvoor staan die getalle in vet druk in Sizwe se getallesin?
- Waarvoor staan die getal 3 in Sizwe se getallesin?
- Waarvoor staan die getalle in vet druk in Sizwe se getallesin?
- Kyk na hierdie ry: 5; 8; 11; 14; ...
Pas Sizwe se reël op die ry toe en bepaal:
- term 7 van die ry
- term 10 van die ry
- die 100ste term van die ry
- term 7 van die ry
- Kyk na hierdie ry: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; ...
- Gebruik Sizwe se verduideliking om ’n reël vir die ry te bepaal.
- Bepaal die 28ste term van die ry.
- Gebruik Sizwe se verduideliking om ’n reël vir die ry te bepaal.
Meer voorspellings
Voltooi die tabelle hier onder deur die ontbrekende terme te bereken.
-
Posisie in ry
1
2
3
4
10
54
Term
4
7
10
13
-
Posisie in ry
1
2
3
4
8
16
Term
4
9
14
19
-
Posisie in ry
1
2
3
4
7
30
Term
3
15
27
- Gebruik die reël Posisie in die ry \(\times\) (Posisie in die ry + 1) om hierdie tabel te
voltooi.
Posisie in ry
1
2
3
4
5
6
Term
2
Ondersoek en brei meetkundige patrone uit
Vierkantsgetalle
’n Fabriek maak vensterrame. Tipe 1 het een vensterruit, tipe 2 het vier vensterruite, tipe 3 het nege vensterruite, en so aan.
- Hoeveel vensterruite het ’n tipe 5-raam?
- Hoeveel vensterruite het ’n tipe 5-raam?
- Hoeveel vensterruite het ’n tipe 5-raam?
- Hoeveel vensterruite het ’n tipe 12-raam? Verduidelik.
- Voltooi die tabel. Wys jou berekeninge.
Tipe raam
1
2
3
4
15
20
Getal vensterruite
1
4
9
16
In algebra dink ons aan ’n kwadraat as ’n getal wat verkry word deur ’n getal met homself te vermenigvuldig. Dus is 1 ook ’n kwadraat want \(1 \times 1 = 1\).
Die simbool n word hier onder gebruik om die posisienommer in die uitdrukking voor te stel wat die reël (\(n^2\)) gee wanneer ons veralgemeen.
Driehoekgetalle
Therese gebruik sirkels om ’n patroon van driehoekige figure te vorm:
- As die patroon voortgesit word, hoeveel sirkels moet Therese
- in die onderste ry van figuur 5 hê?
- in die tweede ry van onder in figuur 5 hê?
- in die derde ry van onder in figuur 5 hê?
- in die boonste ry van figuur 5 hê?
- in the top row of picture 5?
- altesaam in figuur 5 hê? Wys jou berekening.
- in die onderste ry van figuur 5 hê?
- Hoeveel sirkels het Therese nodig om figuur 7 te maak? Wys die berekening.
- Hoeveel sirkels het Therese nodig om figuur 8 te maak?
- Voltooi die tabel. Wys al jou berekeninge.
Figuur- nommer
1
2
3
4
5
6
12
15
Getal sirkels
1
3
6
10
Griekse wiskundiges het meer as 2 500 jaar gelede al geweet dat die getalle 3, 6, 10, 15 en so aan ’n driehoekige patroon kan vorm. Hulle het die getalle met kolletjies voorgestel wat hulle in die vorm van gelyksydige driehoeke gerangskik het, vandaar die naam driehoekgetalle. Algebraïes dink ons aan hierdie getalle as die somme van opeenvolgende natuurlike getalle, beginnende met getal 1.
Kom ons kyk weer na die aktiwiteit oor driehoekgetalle wat ons op die vorige bladsy gedoen het.
Tot nou het ons die getal sirkels in die patroon bepaal deur opeenvolgende natuurlike getalle by te tel. As ons byvoorbeeld gevra sou word om die getal sirkels in prent 200 te bepaal, sal dit ons egter baie lank neem om dit te doen. Ons moet ’n vinniger metode kry om enige driehoekgetal in die ry te bepaal.
Kyk na die rangskikking hier onder.
Geel sirkels is by die oorspronklike blou sirkels gevoeg en die sirkels is so herrangskik dat hulle in ’n reghoekige vorm is.
- Figuur 2 is 3 sirkels lank en 2 sirkels breed. Voltooi die volgende sinne:
- Figuur 3 is ______ sirkels lank en ______ sirkels breed.
- Figuur 1 is ______ sirkels lank en ______ sirkels breed.
- Figuur 4 is ______ sirkels lank en ______ sirkels breed.
- Figuur 5 is ______ sirkels lank en ______ sirkels breed.
- Hoeveel sirkels sal daar in ’n figuur wees wat:
- 10 sirkels lank en 9 sirkels breed is?
- 7 sirkels lank en 6 sirkels breed is?
- 6 sirkels lank en 5 sirkels breed is?
- 20 sirkels lank en 19 sirkels breed is?
- 10 sirkels lank en 9 sirkels breed is?
Gestel ons wil ’n vinniger metode hê om die getal sirkels in prent 15 te bepaal. Ons weet prent 15 is 16 sirkels lank en 15 sirkels breed. Dit gee ’n totaal van \(15 \times 16 = 240\) sirkels. Maar ons moet kompenseer vir die feit dat die geel sirkels oorspronklik nie daar was nie deur die totale getal sirkels te halveer. Met ander woorde, die oorspronklike figuur het \(240 \div 2 = 120\) sirkels.
- Gebruik die redenasie hier bo om die getal sirkels te bereken in:
- figuur 20
- figuur 35
- figuur 20
Beskryf patrone op verskillende maniere
T-vormige getalle ...
Die patroon hier onder is uit vierkante gemaak.
-
- Hoeveel vierkante sal daar in figuur 5 wees?
- Hoeveel vierkante sal daar in figuur 15 wees?
- Voltooi die tabel.
Figuurnommer
1
2
3
4
5
6
20
Getal vierkante
1
4
7
10
- Hoeveel vierkante sal daar in figuur 5 wees?
Hier onder is drie verskillende metodes of planne om die getal vierkante vir figuur 20 te bereken. Bestudeer elkeen sorgvuldig.
Plan A:
Om van 1 vierkant by 4 vierkante uit te kom, moet jy 3 vierkante bytel. Om van 4 vierkante by 7 vierkante uit te kom, moet jy 3 vierkante bytel. Om van 7 vierkante by 10 vierkante uit te kom, moet jy 3 vierkante bytel. Hou dus aan om 3 vierkante by te tel vir elke figuur tot by figuur 20.
Plan B:
Vermenigvuldig die figuurnommer met 3 en trek 2 af. Figuur 20 sal dus \(20 \times 3 - 2\) vierkante hê.
Plan C:
Die getal vierkante in figuur 5 is 13. Figuur 20 sal dus \(13 \times 4 = 52\) vierkante hê want \(20 = 5 \times 4\).
-
- Watter metode of plan (A, B of C) sal die regte antwoord gee? Verduidelik waarom.
- Watter van die planne hier bo het jy gebruik? Verduidelik waarom.
- Kan hierdie vloeidiagram gebruik word om die getal vierkante te bereken?
- Watter metode of plan (A, B of C) sal die regte antwoord gee? Verduidelik waarom.
... en ’n paar ander patrone
- Die figure hier onder is van teëls gemaak. Teken die volgende figuur in die patroon.
-
- As die patroon voortgesit word, hoeveel teëls sal daar in die 17de figuur wees?
Beantwoord hierdie vraag deur te ontleed wat gebeur.
- Thato besluit dit is vir hom makliker
om die patroon te sien as die teëls
herrangskik word soos hier regs:
Gebruik Thato se metode om die getal teëls in die 23ste figuur te bepaal.
- Voltooi die vloeidiagram deur gepaste operators in te vul sodat dit gebruik kan
word om die getal teëls in enige figuur van die patroon te bereken.
- Hoeveel teëls sal daar in die 50ste figuur wees as die patroon voortgesit word?
- As die patroon voortgesit word, hoeveel teëls sal daar in die 17de figuur wees?
Beantwoord hierdie vraag deur te ontleed wat gebeur.
- Skryf die volgende vier terme in elke ry neer. Verduidelik ook elke keer hoe jy
uitgewerk het wat die terme is.
- 2; 4; 8; 14; 22; 32; 44;
- 2; 6; 18; 54; 162;
- 1; 7; 13; 19; 25;
- 2; 4; 8; 14; 22; 32; 44;
-
- Voltooi die tabel deur die ontbrekende terme te bereken.
Posisie in ry
1
2
3
4
5
7
10
Term
3
10
17
- Skryf die reël om die term vir enige posisienommer te bereken in woorde.
- Voltooi die tabel deur die ontbrekende terme te bereken.
- Kyk na die stapels hier onder.
- Hoeveel kubusse sal daar in stapel 5 wees?
- Voltooi die tabel.
Stapelnommer
1
2
3
4
5
6
10
Getal kubusse
1
8
27
- Skryf die reël neer om die getal kubusse vir enige stapelnommer te bereken.
- Hoeveel kubusse sal daar in stapel 5 wees?
