Die stelling van pythagoras

Stelling is ’n reël of ’n bewering wat deur redenering bewys is. Die stelling van Pythagoras is ’n reël wat net op reghoekige driehoeke. Die stelling is na die Griekse wiskundige Pythagoras vernoem.

Pythagoras (569–475 v.C.)

Pythagoras was ’n invloedryke wiskundige. Soos baie Griekse wiskundiges van 2 500 jaar gelede, was hy ook ’n filosoof en ’n wetenskaplike. Hy het die baie bekende stelling, wat vandag as Pythagoras se stelling bekendstaan, geformuleer. Die stelling was egter al 1 000 jaar vroeër deur die Chinese en die Babiloniërs gebruik.

Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/62553_Afrikaans.png 

Die skuinssy is die sy teenoor die 90°-hoek in ’n reghoekige driehoek. Dit is altyd die langste sy.

  • Die figuur wys ’n reghoekige driehoek met vierkante op elk van die sye.
    62749.png
    1. Bereken die oppervlaktes:

      Vierkant A:


      Vierkant B:


      Vierkant C:

    2. Tel die oppervlakte van Vierkant B + en die oppervlakte van vierkant C bymekaar:
    3. Wat merk jy op oor die oppervlaktes?
  • Die figuur hier onder is soortgelyk aan die een in vraag 1. Die lengtes van die reghoeksye van die reghoekige driehoek is 5 cm en 12 cm.
    1. Tel die vierkante. Wat is die lengte van die skuinssy?
    2. Bepaal die volgende:
      63154.png

      Oppervlakte van A:


      Oppervlakte van B:


      Oppervlakte van C:


      Oppervlakte van B + Oppervlakte van C:

    3. Wat merk jy op oor die oppervlaktes? Is dit soortgelyk aan jou antwoord in 1(c)?
  • Die lengtes van die reghoeksye van ’n reghoekige driehoek is 8 cm en 15 cm. Gebruik jou bevindings in die vorige vrae om die volgende vrae te beantwoord.
    63163.png
    1. Wat is die oppervlakte van die vierkant wat langs die skuinssy geteken is?
    2. Wat is die lengte van die driehoek se skuinssy?
  • Die stelling van Pythagoras se:

    In ’n reghoekige driehoek is die oppervlakte van die vierkant op die skuinssy gelyk aan die som van die oppervlaktes van die vierkante op die reghoeksye van die driehoek. Dus:

    \((\text{Skuinssy})^2=(\text{Sy} 1)^2 + (\text{Sy} 2)^2\)

    Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths_grd9_pg239.png
  • As ’n driehoek reghoekig is, is die verband tussen die sye soos volg: \(\text{(Skuinssy)}^{2}\) = \(\text{(Sy 1)}^{2}\) + \(\text{(Sy 2)}^{2}\)
  • As die verband \(\text{(Langste sy)}^{2}\) = \(\text{(Sy 1)}^{2}\) + \(\text{(Sy 2)}^{2}\), tussen die sye bepaal kan word, dan is die driehoek ’n reghoekige driehoek.
  • Voorbeeld:63190.png 
  • Hierdie driehoek se sylengtes is 29 mm, 20 mm en 21 mm.
    63324.png
    1. Bewys dat dit ’n reghoekige driehoek is
    2. Merk die regte hoek op die tekening

  • Gebruik die stelling van Pythagoras om te bepaal of hierdie driehoeke reghoekig is. Alle waardes is in dieselfde eenhede. Bewys dat dit ’n reghoekige driehoek is
    1. Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths-Gr9-Eng-Term2-p240-img2.png 
    2. Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths-Gr9-Eng-Term2-p240-img3.png 
    3. Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths-Gr9-Eng-Term2-p240-img4.png 
  • Bepaal of die volgende sylengtes reghoekige driehoeke sal vorm. Alle waardes is in dieselfde eenhede.
    1. 7, 9 en 12
    2. 7, 12 en 14
    3. 16, 8 en 10
    4. 6, 8 en 10
    5. 8, 15 en 17
    6. 16, 21 en 25
  • Voorbeeld:64314.pngwortelvorm genoem.

    Wortelvorm

    \(\sqrt{5}\) is ’n voorbeeld van ’n getal in wortelvorm.

    \(\sqrt{9}\) is nie ’n wortelvorm nie, want jy kan dit vereenvoudig:

    \(\sqrt{9}\) = 3

    Voorbeeld:64488.png
  • Bepaal die lengte van die skuinssy in elk van die driehoeke hier onder. Laat die antwoorde in wortelvorm waar van toepassing.
    1. Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths-Gr9-Eng-Term2-p242-img1.png 
    2. Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths-Gr9-Eng-Term2-p242-img2.png 
    3. Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths-Gr9-Eng-Term2-p242-img3.png 
    4. Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths-Gr9-Eng-Term2-p242-img4.png 
  • ’n Reghoek het sye met lengtes 36 mm en 77 mm. Bepaal die lengte van die reghoek se hoeklyn.
    64527.png
  • \(\triangle\)ABC has \(\hat{A}\) = 90\(^\circ\), AB = 3 cm and AC = 5 cm. Maak ’n ruwe skets van die driehoek en bereken dan die lengte van BC.
  • ’n Reghoekige prisma is van glas gemaak. Dit het ’n lengte van 16 cm, ’n hoogte van 10 cm en ’n breedte van 8 cm. ABCD en EFGH is twee van die vlakke. ∆ACH is in die prisma geteken. Is ∆ACH reghoekig? Beantwoord die vrae om uit te vind.

    86576.png 

    1. Bereken die lengte van die sye van ∆ACH. Let op dat al drie sye van die driehoek hoeklyne van reghoeke is. AC is in reghoek ABCD, AH is in ADHE en HC is in HDCG.
    2. Is \(\triangle\)ACH reghoekig? Verduidelik jou antwoord.
  • Voorbeeld:64869.png
  • Bereken in die reghoekige driehoeke hier onder die lengte van die sye wat nie gegee is nie. Los jou antwoorde in wortelvorm waar van toepassing.
    1. Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths-Gr9-Eng-Term2-p244-img1.png 
    2. Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths-Gr9-Eng-Term2-p244-img2.png 
    3. Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Maths-Gr9-Eng-Term2-p244-img3.png 
  • Bereken die lengte van die derde sy van die volgende reghoekige driehoeke. Teken eers ’n ruwe skets van elk van die driehoeke voor jy enige berekeninge doen. Rond jou antwoorde tot twee desimale plekke af.
    1. \(\triangle\)ABC het AB = 12 cm, BC = 18 cm en \(\hat{A}\) = 90\(^\circ\).Bereken AC.
    2. \(\triangle\)DEF het \(\hat{F}\)= 90\(^\circ\), DE = 58 cm en DF = 41 cm. Calculate EF.
    3. \(\triangle\)JKL het \(\hat{K}\) = 90\(^\circ\), JK = 119 m, KL = 167 m. Breken JL.
    4. \(\triangle\)PQR het PQ = 2 cm, QR = 8 cm en \(\hat{Q}\) = 90\(^\circ\). Breken PR.
    1. ’n Leer wat 5 m lank is word teen ’n muur gesit. Die onderkant van die leer is 1 m van die muur af weg. Hoe ver teen die muur op sal die leer reik? Rond jou antwoord tot twee desimale plekke af.
      65370.png
    2. As die leer 4,5 m hoog teen die muur opreik, hoe ver van die muur af is dit neergesit? Rond jou antwoord tot twee desimale plekke af.
  • Stelle natuurlike getalle wat as die sye van ’n reghoekige driehoek gebruik kan word staan as Pythagoriaanse drietalle,bekend, byvoorbeeld:

    3-4-5 ; 5-12-13 ; 7-24-25 ; 16-30-34 ; 20-21-29

    Jy kan hierdie drietalle uitbrei deur veelvoude van hulle te bepaal. Drietalle uit die 3-4-5 stel sluit byvoorbeeld die volgende in:

    3-4-5 ; 6-8-10 ; 9-12-15 ; 12-16-20

    Daar bestaan baie ou geskrifte waarin Pythagoriaanse drietalle opgeteken is. Die Babiloniërs het tussen 1900 en 1600 v.C. reeds baie groot Pythagoriaanse drietalle bereken, soos byvoorbeeld 1 679-2 400-2 929.

    1 679-2 ; 400-2 929.

    Hoeveel Pythagoriaanse drietalle kan jy bepaal? Wat is die grootste een wat jy kan bepaal wat nie ’n veelvoud van ’n ander een is nie?

  • Vier lyne is op die rooster getrek. Elke vierkant is een eenheid lank. Bereken die lengtes van die lyne: AB, CD, EF en GH. Doen die berekeninge in jou oefeningboek en vul die antwoorde hier onder in. Los jou antwoorde in wortelvorm.

    65394.png 

    AB=........eenhede

    CD=........eenhede

    EF=........eenhede

    GH=........eenhede

    1. Bereken die oppervlakte van reghoek KLMN.
      65423.png
    2. Bereken die omtrek van \(\triangle\)KLM.
  • ABCD is ’n reghoek met AB = 4 cm, BC = 7 cm en CQ = 1,5 cm. Rond jou antwoorde tot twee desimale plekke af as die antwoorde nie telgetalle is nie.

    65442.png 

    1. Wat is die lengte van QD?
    2. As CP = 4,2 cm, bereken die lengte van PQ.
    3. Bereken die lengte van AQ en die oppervlakte van ∆AQD. \(\triangle\)AQD.
  • MNST is 'n parallelogram. NR = 9 mm and MR = 12 mm.
    65466.png
    1. Bereken die oppervlakte van \(\triangle\)MNR.
    2. Bereken die omtrek van MNST.
  • Pythagoras se stelling werk net vir reghoekige driehoeke, maar ons kan dit ook soos volg gebruik om uit te vind of ander driehoeke skerphoekig of stomphoekig is:

    Byvoorbeeld in 'n 6-8-9 driehoek: \(6^{2}\) + \(8^{2}\) = 100 en \(9^{2}\) = 81.

    81 is minder as 100 \(\therefore\) die 6-8-9 driehoek is skerphoekig.

    byvoorbeeld, in 'n 6-8-11 driehoek: \(6^{2}\) + \(8^{2}\) = 100 en \(11^{2}\) = 121.

    121 is meer as 100 \(\therefore\) die 6-8-11 driehoek is stomphoekig.

    65533.png

    Voltooi die tabel. Dit is op die skets hier regs gebaseer. Besluit of elke driehoek wat beskryf word reghoekig, skerphoekig of stomphoekig is.

    \(a\)

    \(b\)

    \(c\)

    \(a^{2}\) + \(b^{2}\)

    \(c^{2}\)

    Vul

    =, > of <

    Soort driehoek

    3

    5

    6

    \(3^{2}\) + \(5^{2} = 9 + 25 = 34\)

    \(6^{2} = 36\)

    \(a^{2}\) + \(b^{2} \lt c^{2}\)

    Skerphoekige

    2

    4

    6

    \(a^{2}\) + \(b^{2}\) ........... \(c^{2}\)

    5

    7

    9

    \(a^{2}\) + \(b^{2}\) ........... \(c^{2}\)

    12

    5

    13

    \(a^{2}\) + \(b^{2}\) ........... \(c^{2}\)

    12

    16

    20

    \(12^{2}\) + \(16^{2} = 144 + 256 = 400\)

    \(20^{2} = 400\)

    \(a^{2}\) + \(b^{2}\) ........... \(c^{2}\)

    Reghoekige

    7

    9

    11

    \(a^{2}\) + \(b^{2}\) ........... \(c^{2}\)

    8

    12

    13

    \(a^{2}\) + \(b^{2}\) ........... \(c^{2}\)

    1. Skryf Pythagoras se stelling op die manier neer waarop jy dit die beste verstaan.
    2. Bereken die lengtes van die onbekende sye in die volgende driehoeke. Los die antwoorde in wortelvorm indien nodig.
      1. 65926.png
      2. 65917.png
    3. ABCD is 'n parallelogram.
      1. Bereken die omtrek van ABCD.
        65891.png

      2. Bereken die oppervlakte van ABCD.