Meetkunde van 2d-figure

Gebruik ʼn gradeboog om die binnehoeke van elk van die volgende driehoeke te meet. Skryf die groottes van die hoeke op die diagramme.

 

Klassifiseer die driehoeke in vraag 1 volgens hulle hoekeienskappe. Kies uit die volgende soorte driehoeke: skerphoekig, stomphoekig en reghoekig.

1. \(\triangle\)ABC is 'n ________ driehoek, want ________
2. \(\triangle\)EDF is 'n ________ driehoek, want ________
3. \(\triangle\)GHI is 'n ________ driehoek, want ________

Die gemerkte hoeke in elke driehoek hier onder is gelyk. Klassifiseer die driehoeke volgens die eienskappe van hulle hoeke en sye.

1. \(\triangle\) .......... is ʼn skerphoekige gelykbenige driehoek, want........ en .........
2. \(\triangle\) .......... is 'n reghoekige gelykbenige driehoek, want ......... en ........
3. \(\triangle\) .......... is 'n stomphoekige gelykbenige driehoek, want ........... en ..........

 

Sê vir watter soort driehoek elke bewering waar is. As dit waar is vir alle driehoeke, skryf "Alle driehoeke".

	Bewering	Waar vir
(a)	Twee sye van die driehoek is gelyk.
(b)	Een hoek van die driehoek is stomp.
(c)	Twee hoeke van die driehoek is gelyk.
(d)	Al drie hoeke van die driehoek is gelyk aan 60\(^\circ\).
(e)	Die grootte van ʼn buitehoek is gelyk aan die som van die teenoorstaande binnehoeke.
(f)	Die langste sy van die driehoek is teenoor die grootste hoek.
(g)	Die som van die twee korter sye van die driehoek is groter as die lengte van die langste sy.
(h)	Die kwadraat van die lengte van een sy is gelyk aan die som van die kwadrate van die ander sye.
(i)	Die kwadraat van die lengte van een sy is groter as die som van die kwadrate van die ander sye.
(j)	Die som van die binnehoeke van die driehoek is 180\(^\circ\).

Bewering Rede \(\text{AC} = \text{BC} \) Gegee \(\therefore\hat{A} = \hat{B}\) \(180^\circ = 40^\circ + x + x \) Som \(\angle\)e \(\triangle\) \(180^\circ = 40^\circ + 2x \) \(\therefore x = \)

Bereken die groottes van die onbekende hoeke.

 

---

Bepaal die groottes van die onbekende hoeke en die lengte van MO.

 

---

Bereken die groottes van y en x.

 

---

Benoem die volgende vierhoeke. Merk in elke figuur die hoeke en sye wat gelyk is. Gebruik waar nodig jou liniaal en gradeboog om hoekgroottes en lengtes te meet.

---

---

---

---

---

---

Voltooi die volgende tabel:

Eienskappe	Waar vir die volgende vierhoeke
	Vierkant	Ruit	Reghoek	Parallelogram	Vlieër	Trapesium
Ten minste een paar teenoorstaande hoeke is gelyk.	ja	ja	ja	ja	ja	nee
Albei pare teenoorstaande hoeke is gelyk.
Ten minste een paar aangrensende hoeke is gelyk.
Al vier hoeke is gelyk.
Enige twee teenoorstaande sye is gelyk.
Twee aangrensende sye is gelyk, en die ander twee aangrensende sye is ook gelyk.
Al vier sye is gelyk.
Ten minste een paar teenoorstaande sye is ewewydig.
Enige twee teenoorstaande sye is ewewydig.
Die twee hoeklyne is loodreg.
Ten minste een hoeklyn halveer die ander een.
Die twee hoeklyne halveer mekaar.
Die twee hoeklyne is gelyk.
Ten minste een hoeklyn halveer 'n paar teenoorstaande hoeke.
Albei hoeklyne halveer 'n paar teenoorstaande hoeke.
Die som van die binnehoeke is 360\(^\circ\).

Kyk na die eienskappe van 'n vierkant en 'n ruit.

1. Is al die eienskappe van 'n vierkant ook die eienskappe van 'n ruit? Verduidelik.

   ---

2. Is al die eienskappe van 'n ruit ook die eienskappe van 'n vierkant? Verduidelik

   ---

3. Watter bewering is waar?

   'n Vierkant is 'n spesiale soort ruit. ___________

   'n Ruit is 'n spesiale soort vierkant. ___________

Kyk na die eienskappe van reghoeke en vierkante.

1. Is al die eienskappe van 'n vierkant ook die eienskappe van 'n reghoek? Verduidelik

   ---

2. Is al die eienskappe van ʼn reghoek ook die eienskappe van ʼn vierkant? Verduidelik.

   ---

3. Watter bewering is waar?

   'n Vierkant is ʼn spesiale soort reghoek. ___________

   ʼn Reghoek is ʼn spesiale soort vierkant. ___________

Kyk na die eienskappe van parallelogramme en reghoeke.

1. Is al die eienskappe van ʼn parallelogram ook dié van ʼn reghoek? Verduidelik.

   ---

2. Is al die eienskappe van ʼn reghoek ook dié van ʼn parallelogram? Verduidelik.

   ---

3. Watter bewering is waar?

   ʼn Reghoek is ʼn spesiale parallelogram. ___________

   ʼn Parallelogram is ʼn spesiale reghoek. ___________

Kyk na die eienskappe van ʼn ruit en ʼn parallelogram. Is ʼn ruit ʼn spesiale soort parallelogram? Verduidelik.

---

Vergelyk die eienskappe van ʼn vlieër en ʼn parallelogram. Waarom is ʼn vlieër nie ʼn spesiale soort parallelogram nie?

---

Vergelyk die eienskappe van ʼn trapesium en ʼn parallelogram. Waarom is ʼn trapesium nie ʼn spesiale soort parallelogram nie?

---

Bepaal die groottes van hoeke a tot e in die vierhoeke. Gee redes vir jou antwoorde.

---

---

---

Bereken die omtrek van die vierhoeke hier regs. Gee jou antwoorde tot twee desimale plekke.

---

---

As twee driehoeke kongruent is, is elke sy in die een driehoek gelyk aan elke ooreenstemmende sy in die ander driehoek. Elke hoek in die een driehoek is ook gelyk aan elke ooreenstemmende hoek in die ander driehoek.

\(\equiv\) \(\triangle\)XYZ.

Kongruensiesimbool

\(\equiv\) beteken "is kongruent aan"

\(\triangle\)KLM \(\equiv\) \(\triangle\)PQR:

---

\(\triangle\)FGH \(\equiv\) \(\triangle\)CST:

---

Die voorwaardes vir kongruensie:

• SSS (alle ooreenstemmende sye is gelyk)
• SHS (twee ooreenstemmende sye en die ingeslote hoek is gelyk)
• HHS (twee ooreenstemmende hoeke en enige ooreenstemmende sy is gelyk)
• 90°SS (albei driehoeke het ʼn 90°-hoek en het skuinssye gelyk en een ander sy gelyk).

---

---

---

---

---

---

• Elke bewering wat jy maak moet 'n rede hê.
• Jy moet drie bewerings gee om te bewys dat enige twee driehoeke kongruent is.
• Gee die rede vir kongruensie.

Voorbeeld:

Bewering

Rede

In \(\triangle\)ABD en \(\triangle\)CED:

1) \(AD = DC\)

2) \(A\hat{D}B = C\hat{D}E\)

3) \(B\hat{A}D = E\hat{C}D\)

\(\therefore\) \(\triangle\)ABD \(\equiv\) \(\triangle\)CED

Gegee

Regoorst. \(\angle\)e

Verw. \(\angle\)s (AB\(||\) EC)

HHS

Bewys dat \(\triangle\)ACE \(\equiv\) \(\triangle\)BDE.

	Bewering	Rede

Bewys dat \(\triangle\)WXZ \(\equiv\) \(\triangle\)YXZ.

	Bewering	Rede

Bewys dat QR = SP. (Wenk: Bewys eers dat die driehoeke kongruent is.)

	Bewering	Rede

Bewys dat die driehoeke hier onder kongruent is. Bepaal dan die grootte van \(\Q\hat{M}P\).

	Bewering	Rede

 

1. Gebruik 'n gradeboog om die hoeke in elke driehoek hier bo te meet. Voltooi dan die tabel hier onder.

   Hoek	Hoek	Wat sien jy raak?
   \(\hat{B} =\quad\)	\(\hat{D} =\)
   \(\hat{A} =\)	\(\hat{E} =\)
   \(\hat{C} =\)	\(\hat{F} =\quad\)

2. Wat kan jy oor die groottes van die hoeke in gelykvormige driehoeke sê?

   ---

1. Gebruik 'n liniaal om die lengtes van die sye in elke driehoek in vraag 1 te meet. Voltooi dan die tabel hier onder

   Lengte (cm)	Lengte (cm)	Verhouding
   BA =	DE =	BA : DE = \(\quad\) = \(1 : 1\frac{1}{3}\)
   BC =	DF =	BC : DF = \(\quad\) = \(\quad\)
   CA =	FE =	CA : FE = \(\quad\) = \(\quad\)

2. Wat kan jy oor die verband tussen die sye in gelykvormige driehoeke sê?

   ---

Onthou:

Jy lees 'n verhouding soos byvoorbeeld 2 : 1 as "twee tot een".

Die volgende notasie wys dat die driehoeke gelykvormig is: \(\triangle\)BAC \(|||\) \(\triangle\)DEF. Waarom dink jy skryf ons die eerste driehoek as \(\triangle\)BAC en nie as \(\triangle\)ABC nie?

---

Die eienskappe van gelykvormige driehoeke:

• Die ooreenstemmende hoeke is gelyk.
• Die ooreenstemmende sye is in dieselfde verhouding tot mekaar.

Notasie vir gelykvormige driehoeke:

As \(\triangle\)XYZ en \(\triangle\)PQR gelykvormig is, skryf ons: \(\triangle\)XYZ \(|||\) \(\triangle\)PQR.

Soos vir die notasie van kongruente figure, dui die volgorde van die letters in die notasie van gelykvormige driehoeke aan watter hoeke en sye gelyk is. Vir \(\triangle\)XYZ \(|||\) \(\triangle\)PQR:

Hoeke: \(\hat{X} = \hat{P}\) en \(\hat{Y} = \hat{Q}\) en \(\hat{Z} = \hat{R}\)

Syes: \(\text{X}\)\(\text{Y}\):\(\text{P}\)\(\text{Q}=\text{X}\)\(\text{Z}\): \(\text{P}\)\(\text{R}=\text{Y}\)\(\text{Z}\):\(\text{Q}\)\(\text{R}\)

As die driehoeke se hoekpunte in 'n ander volgorde geskryf word, sal die bewerings hier bo onwaar wees

Besluit of die pare driehoeke gelykvormig is.

1. 

   ---

2. 

   ---

3. 

   ---

4. 

   ---

Doen die volgende taak in jou oefeningboek.

Konstrueer die driehoeke in (a) tot (d) met 'n liniaal en gradeboog. Gebruik jou kennis van gelykvormigheid om die tweede driehoek in elke vraag te teken. Dui die groottes van die ooreenstemmende sye en hoeke op die tweede driehoek aan.

1. In \(\triangle\)EFG, \(\hat{G}= 75^\circ\), EG = 4 cm en GF = 5 cm. \(\triangle\)ABC is ʼn vergroting van \(\triangle\)EFG, met sy sye drie keer langer.
2. In \(\triangle\)MNO, \(\hat{M}= 45^\circ\), \(\hat{N}= 30^\circ\) en MN = 5 cm. \(\triangle\)PQR is gelykvormig aan \(\triangle\)MNO. Die sye van \(\triangle\)MNO en die sye van \(\triangle\)PQR is in die verhouding 1 : 3.
3. \(\triangle\)RST is 'n gelykbenige driehoek. \(\hat{R}= 40^\circ\), RS is 10 cm en RS = RT. \(\triangle\)VWX is gelykvormig aan \(\triangle\)RST. Die sye van \(\triangle\)RST en die sye van \(\triangle\)VWX is in die verhouding 1:\(\frac{1}{2}\).
4. \(\triangle\)KLM is reghoekig by \(\hat{L}\), LM is 7 cm en die skuinssy is 12 cm. \(\triangle\)XYZ is gelykvormig aan \(\triangle\)KLM en sy sye se lengtes is ʼn derde van \(\triangle\)KLM s'n.

Watter van die volgende is minimum voorwaardes vir gelykvormige driehoeke?

1. Twee hoeke in een driehoek is gelyk aan twee hoeke in 'n ander driehoek.
   

   ---

2. Twee sye van een driehoek is in dieselfde verhouding tot mekaar as twee sye in 'n ander driehoek.
   

   ---

3. Twee sye van een driehoek is in dieselfde verhouding tot mekaar as twee sye van 'n ander driehoek, en die ingeslote hoek is gelyk aan die hoek tussen die ooreenstemmende sye.
   

   ---

4. Twee sye van een driehoek is in dieselfde verhouding as twee sye van 'n ander driehoek, en een hoek wat nie tussen die twee sye is nie, is gelyk aan die ooreenstemmende hoek in die ander driehoek
   

   ---

Ewewydige lyne sny mekaar nooit nie. Twee lyne is ewewydig aan mekaar as die afstand tussen hulle dieselfde langs die hele lengte van die lyne is.

Lynstuk QR is ewewydig aan lynstuk ST.

Voltooi die volgende bewys dat \(\triangle\)QRU \(|||\) \(\triangle\)TSU:

Bewering	Rede
\(R\hat{Q}T = Q\hat{T}S\) \(Q\hat{R}S=\) = \(\therefore \triangle QRU|||\triangle TSU\)	Verw. \(\angle\)s   Regoorst. \(\angle\)e Gelyke \(\angle\)e (of HHH)

Die volgende snydende lynstukke vorm driehoekpare tussen ewewydige lyne.

 

1. Is die driehoeke in elke paar gelykvormig? Verduidelik.

   ---

2. Skryf pare gelykvormige driehoeke neer.

   ---

3. Is driehoeke soos dié altyd gelykvormig? Verduidelik hoe jy seker kan wees sonder om elke moontlike driehoekpaar te meet.

   ---

Hier regs vorm die snylyne pare van driehoeke tussen lynstukke wat nie ewewydig is nie. Is hierdie pare van driehoeke gelykvormig? Verduidelik waarom of waarom nie.

---

Kyk na die driehoeke hier onder. DE\(||\) BC. Bewys dat \(\triangle\)ABC\(|||\) \(\triangle\)ADE.

	Bewering	Rede

In die diagram hier regs is ST ʼn telefoonpaal en UV is ʼn vertikale stok. Die stok is 1m hoog en dit gooi ʼn skaduwee van 1,7 m (VW). Die telefoonpaal gooi ʼn skaduwee van 5,1 m (TW). Gebruik gelykvormige driehoeke om die hoogte van die telefoonpaal te bereken.

---

Hoeveel gelykvormige driehoeke is daar in die diagram? Verduidelik jou antwoord.

---

\(\triangle\)ABC ohier regs is gelyksydig. D is die middelpunt van AB, E is die middelpunt van BC en F is die middelpunt van AC.

1. Bewys dat \(\triangle\)BDE 'n gelyksydige driehoek is.

   ---

2. Bepaal al die kongruente driehoeke. Gee 'n bewys vir elkeen.

   ---

3. Noem soveel gelykvormige driehoeke as wat jy kan. Verduidelik hoe jy weet hulle is gelykvormig.

   ---

4. Wat is die verhouding van die ooreenstemmende sye van die gelykvormige driehoeke tot mekaar?

   ---

5. Bewys dat DE ewewydig is aan AC.

   ---

6. Is DF ewewydig aan BC? Is EF ewewydig aan BA? Verduidelik.

   ---

Kyk na die gelykvormige driehoeke hier onder wat geteken is deur konsentriese sirkels te gebruik. Verduidelik waarom die driehoeke in elke diagram gelykvormig is.

1. 

   ---

2. 

   ---