Konstruksie van meetkundige figure

frontispiece%20gr9%20ch%2010.tif  loodlyne geleer.
  • Wat beteken dit as ons sê "twee lyne is loodreg op mekaar"?
  • Gebruik jou gradeboog om die hoeke tussen die pare lyne te meet. Sê dan of die lyne loodreg op mekaar is of nie.


  • Doen die volgende in jou oefeningboek:
    1. Gebruik jou passer en trek twee sirkels van verskillende groottes wat oorvleuel.
    2. Trek 'n lyn deur die punte waar die sirkels mekaar sny.
    3. Trek 'n lyn om die middelpunte van die sirkels met mekaar te verbind.

      67203.png 

    4. Gebruik jou gradeboog en meet die hoeke tussen die snylyne.
    5. Wat kan jy oor die snylyne sê?
  • Herhaal vraag 1(a) tot (e) met sirkels wat ewe groot is.
  • Watter afleiding kan jy maak oor 'n lyn wat deur die snypunte van twee oorvleuelende sirkels getrek word en 'n lyn wat deur hulle middelpunte getrek word?
  • Lynstuk MN met punt P op 'n afstand daarvan af word vir jou gegee. Jy moet 'n lyn konstrueer wat loodreg op MN is, sodat die loodlyn deur punt P gaan.

    67330.png 

    Stap 1

    Gebruik jou passer om 'n sirkel te trek waarvan die middelpunt die een eindpunt van die lynstuk (N) is en deur punt (P) gaan.

    67340.png 

    Stap 2

    Herhaal stap 1, maar maak die ander eindpunt van die lynstuk (M) die middelpunt van jou sirkel.

    67351.png 

    Stap 3

    Verbind die punte waar die sirkels sny: PQ MN

    67367.png 

    Lynstuk XY met punt Z daarop word vir jou gegee. Jy moet 'n loodlyn konstrueer wat deur Z gaan.

    67379.png 

    Stap 1

    Gebruik jou passer om 'n sirkel met middelpunt Z te trek. Maak sy radius kleiner as ZX. Let op die twee punte waar die sirkel XY sny.

    67425.png 

    Stap 2

    Stel jou passer wyer as wat dit was vir die sirkel met middelpunt Z. Trek twee ewe groot sirkels met middelpunte by die twee punte waar die eerste (swart) sirkel XY sny. Die twee sirkels (groen) sal oorvleuel.

    67464.png 

    Stap 3

    Verbind die snypunte van die twee oorvleuelende sirkels. Merk hierdie punte C en D: CD XY en gaan deur punt Z.

    67492.png 

  • 84779.png

  • 84795.png

  • halveer. Doen dan self die stappe in jou oefeningboek.

    Om 'n hoek te halveer beteken om dit in twee ewe groot hoeke te verdeel.

    \(A\hat{B}C\) word vir jou gegee. Jy moet die hoek halveer.

    67729.png 

    Stap 1

    Trek 'n sirkel met middelpunt B om sodoende gelyke lengtes op albei bene van die hoek af te merk.
    Merk die snypunte D en E: DB = BE.

    67737.png 

    Stap 2

    Trek twee ewe groot sirkels met middelpunte by D
    en by E. Maak seker die sirkels oorvleuel.

    67922.png 

    Stap 3

    Trek 'n lyn van B af deur die punte waar die twee ewe groot sirkels sny. Hierdie lyn sal \(A\hat{B}C\) halveer.

    67930.png 

    67861.png
    Dieselfde konstruksie as in stap 3 hier bo

    Kan jy verduidelik waarom die metode hier bo werk om 'n hoek te halveer?

    Kan jy ook sien dat ons nie volle sirkels hoef te teken nie, maar bloot dele van sirkels (boë) kan gebruik om die konstruksie hier bo te doen?

    84812.pngspesiale hoeke. Jy moet hierdie hoeke kan konstrueer sonder om 'n gradeboog te gebruik.

    Wenk: Verleng die lynstuk na die linkerkant van X.

    84853.png 
  • Wat weet jy oor die sye en hoeke van 'n gelyksydige driehoek?
  • Trek twee sirkels met die volgende eienskappe in jou oefeningboek:
    • Die sirkels is ewe groot.
    • Elke sirkel gaan deur die ander sirkel se middelpunt.
    • Die sirkels se middelpunte is A en B gemerk.
    • Die snypunte van die sirkels is D en E gemerk.

    Die tekening hier regs dien as ’n voorbeeld.

    68078.png
  • Trek die volgende lynstukke: AB, AD en DB.
  • Wat kan jy oor die lengtes van AB, AD en DB sê?
  • Watter soort driehoek is ABD?
  • Wat weet jy dus oor \(\hat{A}, \hat{B} \text{ and } \hat{D}\)?
  • Gebruik jou kennis van die halvering van hoeke om ’n hoek van 30\(^\circ\) te konstrueer op die konstruksie wat jy in vraag 2 gemaak het.
  • Gebruik dit wat jy hier bo geleer het om ’n hoek van 60\(^\circ\) by punt P op lynstuk PQ hier onder te konstrueer.
  • 84887.png 
  • Voltooi die tabel. Die eerste blok is reeds vir jou ingevul.

    Hoek

    Veelvoude kleiner as 360\(^\circ\)

    Hoek

    Veelvoude kleiner as 360\(^\circ\)

    30\(^\circ\)

    30\(^\circ\); 60\(^\circ\); 90\(^\circ\); 120\(^\circ\); 150\(^\circ\); 180\(^\circ\); 210\(^\circ\); 240\(^\circ\); 270\(^\circ\); 300\(^\circ\); 330\(^\circ\)

    45\(^\circ\)

    60\(^\circ\)

    90\(^\circ\)

  • Konstrueer die volgende hoeke in jou oefeningboek sonder om 'n gradeboog te gebruik. Jy sal elke keer meer as een konstruksie moet doen om die hoek te verkry.
    1. 120\(^\circ\)


    2. 135\(^\circ\)


    3. 270\(^\circ\)


    4. 240\(^\circ\)


    5. 150\(^\circ\)


  • Selection_007.png
    1. Halveer elk van die hoeke van die skerphoekige driehoek hier onder.
    2. Verleng elk van die halveerlyne na die teenoorstaande sy van die driehoek
    3. Wat sien jy raak?
    1. Doen dieselfde met die stomphoekige driehoek.
    2. Wat sien jy raak?

      68238.png 

  • Vergelyk jou driehoeke met twee klasmaats s'n. Julle behoort dieselfde resultate te hê.
  • Jy behoort te gevind het dat die drie halveerlyne van die hoeke van 'n driehoek in een punt sny. Hierdie punt is dieselfde afstand van elke sy van die driehoek af.

    'n Binnehoek is 'n hoek wat tussen twee sye van 'n driehoek lê. Dit is binne-in die driehoek. 'n Driehoek het drie binnehoeke.

    'n Buitehoek is 'n hoek tussen 'n sy van 'n driehoek en 'n ander sy wat verleng word. Dit is buite die gegewe driehoek.

    Selection_008.pngteenoorstaande binnehoeke, soos in die volgende tabel beskryf word.68309.png

    Buitehoek

    Aangrensende binnehoek

    Teenoorstaande binnehoeke

    1

    \(x\)

    \(z\) and \(y\)

    2

    \(y\)

    \(x\) en \(z\)

    3

    \(z\)

    \(x\) en \(y\)

  • Benoem elke buitehoek en sy twee teenoorstaande binnehoeke hier onder.

    Buite \(\angle\)

    Teenoorst. binne \(\angle\)e

  • Elke sy van \(\triangle\)ABC hier onder is in albei rigtings verleng om ses buitehoeke te skep.
    68416.png
    1. Skryf die name van die binnehoeke van die driehoek neer.
    2. SAangesien 'n driehoek drie sye het wat in albei rigtings verleng kan word, is daar twee buitehoeke by elke hoekpunt. Skryf die name van al die buitehoeke neer.
    3. Verduidelik waarom \(M\hat{B}L\) nie 'n buitehoek van \(\triangle\)ABC is nie.
    4. Skryf twee ander hoeke neer wat nie binnehoeke of buitehoeke is nie.
  • Kyk na \(\triangle\)LMN. Skryf die naam van die buitehoek neer.
  • Gebruik 'n gradeboog om die binnehoeke en die buitehoek te meet. Skryf die afmetings op die tekening neer.
    68456.png
  • Gebruik jou bevindings in vraag 2 om hierdie som te voltooi:

    \(L\hat{M}N + M\hat{L}N = \)

  • Wat is die verband tussen die buitehoek van 'n driehoek en die som van die teenoorstaande binnehoeke?

    Die buitehoek van 'n driehoek is gelyk aan die som van die teenoorstaande binnehoeke.

  • Bepaal die groottes van hoeke a tot f hier onder sonder om ’n gradeboog te gebruik. Gee redes vir die bewerings wat jy maak soos jy die antwoorde uitwerk.



  • kongruent as hulle presies dieselfde vorm en grootte het: hulle kan presies bo-op mekaar pas. Dit beteken al drie ooreenkomstige sye en al drie ooreenkomstige hoeke is ewe groot, soos wat in die volgende twee pare gewys word.

    68604.png 

    68617.png 

    al drie sye en al drie hoeke is nie, maar ons het sekere minimum afmetings nodig. Jy gaan nou ondersoek instel oor watter stelle afmetings slegs een moontlike driehoek gee.
  • Gebruik 'n liniaal, passer en gradeboog om die volgende driehoeke te konstrueer. Minimum afmetings word elke keer gegee.
    1. As drie sye gegee word:sy, sy, sy (SSS): \(\triangle\)DEF met DE = 7 cm, DF = 6 cm en EF = 5 cm.
    2. As drie hoeke gegee word: hoek, hoek, hoek (HHH): \(\triangle\)ABC met \(\hat{A} = 80^\circ\), \(\hat{B} = 60^\circ\) en \(\hat{C} = 40^\circ\)
    3. As een sy en twee hoeke gegee word: sy, hoek, hoek (SHH): \(\triangle\)GHI met \(\text{GH} = 8 \text{ cm}\), \(\hat{G} = 60^\circ\) en \(\hat{H} = 30^\circ\)
    4. As twee sye en ’n ingeslote hoek gegee word: sy, hoek, sy (SHS): \(\triangle\)JKL met JK =9 cm, \(\hat{K}=\) 130\(^\circ\) en KL = 7 cm.
    5. As twee sye en ’n hoek wat nie ingesluit is nie gegee word: sy, sy, hoek (SSH): \(\triangle\)MNP met MN = 10 cm, \(\hat{M}=\) = 50\(^\circ\) en PN = 8 cm.
    6. As ’n regte hoek, die skuinssy en ’n sy gegee word(90°SS) \(\triangle\)TRS met TR \(\perp\) RS, RS = 7 cm en TS = 8 cm.
    7. Driehoek UVW met UV = 6 cm en VW = 4 cm.
  • Vergelyk jou driehoeke met drie klasmaats s’n. Watter van jou driehoeke is kongruent aan hulle s’n? Watter is nie kongruent nie?
  • Kyk weer na \(\triangle\)MNP (vraag 1(e)).Het jy en jou maats ook gesien dat twee verskillende driehoeke geteken kan word wat albei aan die gegewe afmetings voldoen? Een van die driehoeke is stomp en die ander skerp. Die stappe hier onder wys hoekom.

    Stap 1

    Konstrueer MN = 10 cm en die 50\(^\circ\) hoek by M, al weet jy nie wat die lengte van die onbekende sy (MP) is nie.

    69335.png 

    Stap 2

    \(\hat{N}\) onbekend, maar NP = 8 cm. Konstrueer dus ’n boog 8 cm van N af. Elke punt op die boog is 8 cm van N af.

    Selection_009..png 

    Stap 3

    Punt P moet 8 cm van N af wees en op die onbekende sy van die driehoek val. Die boog sny die derde sy by twee punte, so P kan by enige punt wees.

    Twee driehoeke is dus moontlik en albei voldoen aan die gegewe voorwaardes, d.w.s. MN = 10 cm, NP = 8 cm en \(\hat{M}\) = 50\(^\circ\).

    69370.png
  • Voltooi die tabel. Skryf neer of ons ’n kongruente driehoek kan konstrueer as die volgende voorwaardes gegee word.

    Voorwaardes

    Kongruent

    3 sye (SSS)

    2 sye (SS)

    3 hoeke (HHH)

    2 hoeke en ’n sy (HHS)

    2 sye en ’n hoek nie tussen die sye nie (SSH)

    2 sye en ’n hoek tussen die sye (SHS)

    Reghoekig met die skuinssy en ’n sy (90°SS)

  • Hoeklyn is 'n reguit lyn in 'n figuur wat twee hoekpunte van die figuur verbind, waar die hoekpunte nie langs mekaar is nie.
  • Kyk na die vierhoeke hier onder. Die twee hoeklyne van die vierkant is ingeteken: AC en BD.
  • Teken die hoeklyne van die ander vierhoeke hier onder in.
    Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Selection_0010.png
  • Hoeveel sye het ’n vierhoek?
  • Hoeveel hoeke het ’n vierhoek?
  • Hoeveel hoeklyne het ’n vierhoek?
  • Konstrueer 'n ruit in die sirkels deur die middelpunt van elke sirkel met die snypunte van die sirkels te verbind. Verbind A en B.
  • Konstrueer die middelloodlyn van AB.(Gaan terug na afdeling 10.1 as jy hulp nodig het.) Wat merk jy op?
  • 'n Middelloodlyn is 'n lyn wat 'n ander lyn teen 'n regte hoek (90\(^\circ\)) in die helfte sny.

    85277.png 
  • Halveer die hoeklyne mekaar?
  • Voltooi die sin: Die hoeklyne van 'n ruit sal mekaar altyd
  • Konstrueer 'n vlieër deur die middelpunte van die sirkels met die snypunte van die sirkels te verbind.
  • Trek die hoeklyne van die vlieër in.
  • Merk al die lyne wat ewe lank is.
    69770.png
  • Is die hoeklyne van die vlieër loodreg??
  • Halveer die hoeklyne van die vlieër mekaar?
  • Wat is die verskil tussen die hoeklyne van 'n ruit en dié van 'n vlieër?
  • Gebruik die rooster om 'n parallelogram, reghoek en vierkant te teken.

  • Trek die hoeklyne van die vierhoeke hier bo in.
  • Dui op elke figuur al die lengtes van die halveerlyne aan wat ewe lank is. (Gebruik 'n liniaal.)
  • Gebruik die inligting wat jy gekry het om die tabel te voltooi. Vul "ja" of "nee" in.

    Vierhoek

    Hoeklyne gelyk

    Hoeklyne halveer

    Hoeklyne sny teen 90\(^\circ\)

    Parallelogram

    Reghoek

    Vierkant

  • Ons kan 'n vierhoek in twee driehoeke verdeel deur een hoeklyn in te trek.
    1. Trek hoeklyne in om elk van die ander veelhoeke hier onder in so min driehoeke as moontlik te verdeel.
    2. Skryf die getal driehoeke in elke veelhoek neer.
  • Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Selection_0011.png

    Aantal \(\triangle\)e

    2

    Som van \(\angle\)e

    \(2 \times 180^\circ = 360^\circ\)

    Maths_English_LG_gr9_term2-web-resources/image/Selection_0012.png

    Aantal \(\triangle\)e

    Som van \(\angle\)e

    1. Die som van die hoeke van een driehoek = 180\(^\circ\). ’n Vierhoek bestaan uit twee driehoeke, so die som van die hoeke in ’n vierhoek = \(2 \times 180^\circ = 360^\circ\). Werk die som van die binnehoeke van elk van die ander veelhoeke hier bo uit.
    1. Pas die woorde in die regterkolom by die definisies in die linkerkolom. Skryf die letter van die definisie langs die bypassende woord neer.

      (a) 'n Vierhoek met hoeklyne wat loodreg op mekaar is en wat mekaar halveer

      Vlieër

      (b)'n Vierhoek met hoeklyne wat loodreg op mekaar is maar net een van die hoeklyne halveer die ander een

      Kongruent

      (c) 'n Vierhoek wat ewe lang hoeklyne het wat mekaar halveer

      Buitehoek

      (d) Figure wat presies dieselfde grootte en vorm het

      Ruit

      (e) In die helfte sny

      Loodlyne

      (f) 'n Hoek wat buite 'n geslote figuur gevorm word: dit is tussen 'n sy en 'n verlengde sy van die figuur

      Halveer

      (g) Lyne wat mekaar teen 'n hoek van 90\(^\circ\) sny

      Spesiale hoeke

      (h) 90\(^\circ\), 45\(^\circ\), 30\(^\circ\), 60\(^\circ\)

      Reghoek

    2. Voltooi die sin: Die buitehoek van 'n driehoek is gelyk aan ________________
      1. Konstrueer \(\triangle\)PQR met hoeke van 30\(^\circ\) en 60\(^\circ\). Die sy tussen die hoeke moet 8 cm wees. Jy mag net 'n liniaal en 'n passer gebruik.
      2. Sal alle driehoeke met dieselfde afmetings hier bo kongruent wees aan \(\triangle\)PQR? Verduidelik jou antwoord.