Meetkunde van reguit lyne

In hierdie hoofstuk gaan jy die verwantskappe ondersoek wat ontstaan wanneer reguit lyne bymekaarkom of mekaar sny. Jy gaan kyk na hoeke wat gevorm word deur loodregte lyne, deur enige twee lyne wat kruis, en deur ’n derde lyn wat twee ewewydige lyne kruis. Jy gaan leer van regoorstaande hoeke, ooreenkomstige hoeke, verwisselende hoeke en ko-binnehoeke. Jy sal ’n stel hoeke as sulks kan klassifiseer, en jy gaan jou kennis gebruik om onbekende hoeke in meetkundige figure te bereken.

Hoeke op ’n reguit lyn

Som van hoeke op ’n reguit lyn

In die figure hier onder is die hoeke genommer van 1 tot 5.

1. Gebruik ’n gradeboog om die grootte van al die hoeke in elke figuur te meet. Skryf jou antwoord op die toepaslike plek op die figuur.

   A

   

   B

   
2. Gebruik jou antwoorde om die hoekgroottes hier onder in te vul.
   1. \( \hat{1} + \hat{2} = \text{______}^{\circ} \)

      ---

   2. \( \hat{3} + \hat{4} + \hat{5}= \text{______}^{\circ} \)

      ---

Bereken onbekende hoeke op reguit lyne

Bereken die grootte van die onbekende hoeke hier onder. Stel in elke geval ’n gepaste vergelyking op om die meetkundeprobleme op te los. Onthou om altyd ’n rede te gee vir elke stelling wat jy maak.

1. Bereken die waarde van \(a\).

    

   \( \begin{align} a + 63^{\circ} &= \text{______} [\angle\text{e op reguit lyn }] \\ a &= \text{______} - 63^{\circ} \\ &= \text{______} \end{align}\)

   ---

2. Bereken die waarde van \(x\).

    

   ---

3. Bereken die waarde van \(y\).

    

   ---

Bereken nog onbekende hoeke op reguit lyne

1. Bereken:

    

   1. \(x\)

      ---

   2. \(\hat{ECB}\)

      ---

2. Bereken:

    

   1. \(m\)

      ---

   2. \(\hat{SQR}\)

      ---

3. Bereken:

    

   1. \(x\)

      ---

   2. \(\hat{HEF}\)

      ---

4. Bereken:

    

   1. \(k\)

      ---

   2. \(\hat{TYP}\)

      ---

5. Bereken:

    

   1. \(p\)

      ---

   2. \(\hat{JKR}\)

      ---

Regoorstaande hoeke

Wat is regoorstaande hoeke?

1. Gebruik ’n gradeboog om al die hoeke in die figuur te meet. Dui jou antwoorde op die figuur aan.

    

2. Let op watter hoeke ewe groot is, en hoe daardie gelyke hoeke gevorm is.

Bereken onbekende hoeke

Bereken die onbekende hoeke in die volgende figure. Gee ’n rede vir elke stelling wat jy maak.

1. Bereken \(x,~ y\) en \(z\).

    

   \( \begin{align} x &= \text{______}^{\circ} &&[\text{regoorst.}\angle\text{e}] \\ \\ y + 105^{\circ} &= \text{______}^{\circ} &&[\angle\text{e op reguit lyn }] \\ y &= \text{______} - 105^{\circ} && \\ & = \text{______} \\ \\ z &= \text{______} &&[\text{regoorst.}\angle\text{e}] \end{align}\)

   ---

2. Bereken \(j,~ k\) en \(l\).

    

   ---

3. Bereken \(a,~ b,~ c\) en \(d\).

    

   ---

Vergelykings met regoorstaande hoeke

Regoorstaande hoeke is altyd gelyk. Ons kan hierdie eienskap gebruik om vergelykings op te stel, wat dan opgelos kan word om die waarde van ’n onbekende veranderlike te bereken.

1. Bereken die waarde van \(m\).

    

   \( \begin{align} m + 20^{\circ} &= 100^{\circ} [\text{regoorst.}\angle\text{e}] \\ m &= 100^{\circ} - 20^{\circ} \\ &= \text{______} \end{align}\)

   ---

2. Bereken die waarde van \(t\).

    

   ---

3. Bereken die waarde van \(p\).

    

   ---

4. Bereken die waarde van \(z\).

    

   ---

5. Bereken die waarde van \(y\).

    

   ---

6. Bereken die waarde van \(r\).

    

   ---

Lyne wat gesny word deur ’n snylyn

Pare hoeke wat deur ‘n snylyn gevorm word

’n Snylyn is ’n lyn wat minstens twee ander lyne sny.

 

Wanneer ’n snylyn twee lyne sny, kan ’n mens die stelle hoeke wat op die twee lyne gevorm word vergelyk deur na hulle posisies te kyk.

Die hoeke wat aan dieselfde kant van die snylyn in ooreenstemmende posisies is, word ooreenkomstige hoeke s (ooreenk.\(\angle\)e) genoem. In die figuur is die pare ooreenkomstige hoeke:

• \(a\) en \(e\)
• \(b\) en \(f\)
• \( d\) en \(h\)
• \(c\) en \(g\)

1. In die figuur is , \(a\) en \(e\) albei links van die snylyn en bokant ’n lyn.

   Beskryf ook so die ligging van die orige pare ooreenkomstige hoeke. Die eerste een is vir jou gedoen.

   \(b\) en \(f\): Regs van die snylyn en bokant ’n lyn

   ---

   \(d\) en \(h\):

   ---

   \(c\) en \(g\):

   ---

Verwisselende hoeke (verw.\(\angle\)e) lê aan weerskante van die snylyn, maar is nie aangrensend of regoorstaande nie. Wanneer die verwisselende hoeke tussen die twee lyne lê, word hulle verwisselende binnehoeke genoem. In die figuur is die pare verwisselende binnehoeke:

• \(d\) en \(f\)
• \(c\) en \(e\)

Wanneer die verwisselende hoeke buite die twee lyne lê, word hulle verwisselende buitehoeke genoem. In die figuur is die pare verwisselende buitehoeke:

• \(a\) en \(g\)
• \(b\) en \(h\)

2. Beskryf die ligging van die volgende pare verwisselende hoeke:

   \(d\) en \(f\):

   ---

   \(c\) en \(e\):

   ---

   \(a\) en \(g\):

   ---

   \(b\) en \(h\):

   ---

Ko-binnehoeke (ko-binne.\(\angle\)e) lê aan dieselfde kant van die snylyn en tussen die twee lyne. In die figuur is die pare ko-binnehoeke:

• \(c\) en \(f\)
• \(d\) en \(e\)

3. Beskryf die ligging van die volgende pare ko-binnehoeke:

   \(d\) en \(e\):

   ---

   \(c\) en \(f\):

   ---

Identifiseer soorte hoeke

In die diagram hier onder word twee lyne deur ’n snylyn gesny.

 

Skryf die volgende pare hoeke neer:

1. twee pare ooreenkomstige hoeke:

   ---

2. twee pare verwisselende binnehoeke:

   ---

3. twee pare verwisselende buitehoeke :

   ---

4. twee pare ko-binnehoeke:

   ---

5. twee pare regoorstaande hoeke:

   ---

Ewewydige lyne wat gesny word deur ’n snylyn

Ondersoek hoekgroottes

In die figuur links onder is EF ’n snylyn deur AB en CD. In die figuur regs is PQ ’n snylyn deur die ewewydige lyne JK en LM.

 

1. Gebruik ’n gradeboog om die groottes van al die hoeke in albei figure te meet. Dui jou antwoorde aan op die figure.
2. Gebruik jou metings om die volgende tabel te voltooi.

   Hoekpaar	Lyne is nie ewewydig nie	Lyne is ewewydig
   Ooreenk.\(\angle\)e	\( \hat{1} = \text{_______};~\hat{5} = \text{_______}\) \( \hat{4} = \text{_______};~\hat{8} = \text{_______}\) \( \hat{2} = \text{_______};~\hat{4} = \text{_______}\) \( \hat{3} = \text{_______};~\hat{7} = \text{_______}\)	\( \hat{9} = \text{_______};~\hat{13} = \text{_______}\) \( \hat{12} = \text{_______};~\hat{16} = \text{_______}\) \( \hat{10} = \text{_______};~\hat{14} = \text{_______}\) \( \hat{11} = \text{_______};~\hat{15} = \text{_______}\)
   Verw. binne \(\angle\)e	\( \hat{4} = \text{_______};~\hat{6} = \text{_______}\) \( \hat{3} = \text{_______};~\hat{5} = \text{_______}\)	\( \hat{12} = \text{_______};~\hat{14} = \text{_______}\) \( \hat{11} = \text{_______};~\hat{13} = \text{_______}\)
   Verw. buite.\(\angle\)s	\( \hat{1} = \text{_______};~\hat{7} = \text{_______}\) \( \hat{2} = \text{_______};~\hat{8} = \text{_______}\)	\( \hat{9} = \text{_______};~\hat{15} = \text{_______}\) \( \hat{10} = \text{_______};~\hat{16} = \text{_______}\)
   Ko-binne.\(\angle\)s	\( \hat{4} + \hat{5} = \text{_______}\) \( \hat{3} + \hat{6} = \text{_______}\)	\( \hat{12} + \hat{13} = \text{_______}\) \( \hat{11} + \hat{14} = \text{_______}\)

3. Kyk na jou voltooide tabel in vraag 2. Wat kom jy agter van die verskillende hoekpare wanneer ’n snylyn ewewydige lyne sny?

   ---

Bepaal onbekende hoeke by ewewydige lyne

1. Vul die waardes van die gegewe hoeke se ooreenkomstige hoeke in.

    

2. Vul die waardes van die gegewe hoeke se verwisselende buitehoeke in.

    

3. 1. Vul die waardes van die gegewe hoeke se verwisselende binnehoeke in.
   2. Omkring die twee pare ko-binnehoeke in elk van die figure.

   

4. 1. Sonder om te meet, vul al die hoeke hier onder in wat gelyk is aan \(x\) en \(y\).
   2. Verduidelik jou redes vir elke \(x\) en \(y\) wat jy ingevul het aan ’n klasmaat.

      ---

   
5. Gee die waardes van \(x\) en \(y\) hier onder.
   

   ---

Bepaal onbekende hoeke op ewewydige lyne

Bepaal onbekende hoeke

Bepaal die groottes van die onbekende hoeke. Gee redes vir jou antwoorde. (Die eerste vraag is as voorbeeld gedoen.)

1. Vind die groottes van \(x,~y\) en \(z\).

    

   \( \begin{align} x &= 74^{\circ} &&[\text{verw.}\angle\text{ met gegewe }74^{\circ}; AB \parallel CD] \\ \\ y &= 74^{\circ} &&[\text{ooreenk..}\angle\text{ met }x; AB \parallel CD] \\ \text{of } y &= 74^{\circ} &&[\text{regoorst .}\angle\text{ met gegewe }74^{\circ}] \\ \\ z &= 106^{\circ} &&[\text{ko-binne .}\angle\text{ met }x; AB \parallel CD] \\ \text{of } z &= 106^{\circ} &&[\angle\text{e op reguit lyn }] \end{align}\)

2. Bereken die groottes van \(p,~ q\) en \(r\).

    

   ---

3. Bereken die groottes van \(a,~b,~c\) en \(d\).

    

   ---

4. Bereken die groottes van al die hoeke.

    

   ---

5. Bereken die groottes van al die hoeke. (Kan jy twee snylyne en twee stelle ewewydige lyne sien?)

    

   ---

Uitbreiding

Twee hoeke in die diagram word gegee as \(x\) en \(y\). Vul al die hoeke in wat gelyk is aan \(x\) of \(y\).

 

Som van die hoeke in ’n vierhoek

Hierdie diagram is ’n deel uit die diagram hier bo.

 

1. Watter tipe vierhoek word hier gewys? Gee ’n rede vir jou antwoord.

   ---

2. Kyk na die snypunt links bo. Voltooi die volgende vergelyking:

   Hoeke om ’n punt \( = 360^{\circ}\)

   \(\therefore x + y+ \text{______} + \text{______} = 360^{\circ}\)

3. Kyk na die binnehoeke van die vierhoek. Voltooi die volgende vergelykings:

   Som van die hoeke in die vierhoek \(= x + y + \text{______} + \text{______}\)

   Van vraag 2: \(x + y+ \text{______} + \text{______} = 360^{\circ}\)

   \(\therefore\) Som van die hoeke in die vierhoek = \(\text{______}^{\circ}\)

   ---

Los meer meetkundige probleme op

Hoekverwantskappe op ewewydige lyne

1. Bepaal die groottes van \(\hat{1}\) tot \(\hat{7}\).

    

   ---

2. Bepaal die groottes van \(x,~y\) en \(z\).

    

   ---

3. Bepaal die groottes van \(a, ~b, ~c\) en \(d\).

    

   ---

4. Bepaal die groottes van \(x\).

    

   ---

5. Bepaal die groottes van \(x\).

    

   ---

6. Bepaal die groottes van \(x\).

    

   ---

7. Bepaal die groottes van \(a\) en \(C\hat{E}P\).

    

   ---

Hoekverwantskappe en die eienskappe van drie- en vierhoeke

1. Bepaal die groottes van \(\hat{1}\) tot \(\hat{6}\).

    

   ---

2. RSTU is ’n trapesium. Bepaal die groottes van \(\hat{T}\) en \(\hat{R}\).

    

3. JKLM is ’n ruit. Bereken die groottes van \(J\hat{M}L, \hat{M_2}\) en \(\hat{K_1}\).

    

4. ABCD is ’n parallelogram. Bereken die groottes van \(A\hat{D}B, A\hat{B}D, \hat{C}\) en \(D\hat{B}C\)