Meetkunde van

In hierdie hoofstuk gaan jy meer leer oor verskillende soorte driehoeke en vierhoeke en hulle eienskappe. Jy gaan figure wat kongruent is en figure wat gelykvormig is ondersoek. Jy gaan ook jou kennis van die eienskappe van 2D-figure gebruik om meetkundige probleme op te los.

Soorte driehoeke

Jy weet teen hierdie tyd dat ’n driehoek ’n geslote 2D-figuur met drie reguit sye is. Ons kan verskillende soorte driehoeke volgens die lengtes van hulle sye en volgens die groottes van hulle hoeke klassifiseer of benoem.

Benoem driehoeke volgens hulle sye

1. Pas die naam van elke soort driehoek by die korrekte beskrywing.

   Naam van driehoek	Beskrywing van driehoek
   Gelykbenige driehoek	Al die sye is ewe lank.
   Ongelykbenige driehoek	Geen sye is ewe lank nie.
   Gelyksydige driehoek	Twee sye is ewe lank.

2. Benoem elke soort driehoek deur na sy sye te kyk.

    

   ---

Benoem driehoeke volgens hulle hoeke

Onthou die volgende soorte hoeke:

 

Bestudeer die volgende driehoeke en beantwoord dan die vrae:

 

1. Is al die hoeke van ’n driehoek altyd ewe groot? ____________
2. As ’n driehoek ’n stomphoek het, word dit ’n ____________ driehoek genoem.
3. As ’n driehoek net skerphoeke het, word dit ’n ____________ driehoek genoem.
4. As ’n driehoek ’n hoek het wat gelyk is aan ______, word dit ’n reghoekige driehoek genoem .

Ondersoek die hoeke en sye van driehoeke

1. 1. Wat is die som van die binnehoeke van ’n driehoek?

      ---

   2. Kan ’n driehoek twee regte hoeke hê? Verduidelik jou antwoord.

      ---

2. Kan ’n driehoek meer as een stomphoek hê? Verduidelik jou antwoord.

   ---

2. Kyk na die driehoeke hier onder. Die bogies wys watter hoeke is gelyk.
   
   1. \({\triangle}\text{ABC}\) is ’n gelyksydige driehoek. Wat sien jy raak as jy na sy hoeke kyk?

      ---

   2. \({\triangle}\text{FEM}\) is ’n gelykbenige driehoek. Wat sien jy raak as jy na sy hoeke kyk?

      ---

   3. \({\triangle}\text{JKL}\) is ’n reghoekige driehoek. Is sy langste sy teenoor die 90° -hoek?

      ---

   4. Konstrueer enige drie reghoekige driehoeke op ’n vel papier. Is die langste sy altyd teenoor die 90° hoek?

      ---

Onbekende hoeke en sye van driehoeke

Jy kan dit wat jy reeds oor driehoeke weet gebruik om ander inligting te verkry. As jy nuwe inligting uitwerk, moet jy altyd redes gee vir die bewerings wat jy maak. Kyk na die voorbeelde hier onder. Onbekende hoeke en sye is uitgewerk nadat sekere inligting gegee is. Die rede vir elke bewering word tussen vierkantige hakies geskryf.

 

\( \hat{A} = \hat{B} + \hat{C} = 60^{\circ}\) [Hoeke in ’n gelyksydige \(\triangle\) = 60°]

DE = DF [Gegee]

\( \hat{E} = \hat{F}\) [Hoeke teenoor die gelyke sye van ’n gelykbenige \({\triangle}\) is ewe groot]

\(\hat{J} = 55^{\circ}\) [Die som van die binnehoeke van ’n \({\triangle}\ = 180^{\circ}\); so \( \hat{J} = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 85^{\circ}\)]

Jy kan die volgende redes verkort op die maniere wat gewys word:

• Som van binnehoeke (\(\angle\)e)van ’n driehoek \({\triangle}\) = 180°: binne \(\angle\)e van \({\triangle}\)
• Gelykbenige driehoek het 2 sye en 2 hoeke wat gelyk is : gelykbenige \({\triangle}\)
• elyksydige driehoek het 3 sye en 3 hoeke wat gelyk is : gelyksydige \({\triangle}\)
• Hoeke wat ’n reguit lyn vorm = 180°: reguit lyn

Werk onbekende hoeke en sye uit

Bepaal die groottes van onbekende hoeke en sye in die volgende driehoeke. Gee altyd redes vir elke bewering eke en sye ine bewering.

1. Bepaal \(\hat{C}\)?

    

   \( \begin{align} \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} &= \text{______} \text{[binne } \angle\text{e van 'n }{\triangle}] \\ \ 50 ° + \text{______} + \hat{C} &= \text{______} \\ 145 ° + \hat{C} &= \text{______} \\ \hat{C} &= \text{______} -145 ° \\ \hat{C} &= \text{______} \end{align} \)
2. Bepaal \(\hat{P}\).

    

   ---

3. 1. Bepaal KM

      ---

   2. Bepaal \(\hat{K}\).

      ---

       

4. Wat is die grootte van \(\hat{S}\)?

    

   ---

5. 1. Bepaal CB.

      ---

   2. Bepaal \(\hat{C}\) as \(\hat{A} = 50^{\circ}\).

      ---

       

6. 1. Bepaal DF.

      ---

   2. Bepaal \(\hat{E}\) as \(\hat{D} = 100^{\circ}\)

       

Werk nog onbekende hoeke en sye uit

Bereken die grootte van

1. Bereken die groottes van \(\hat{X}\) en \(\hat{Z}\).

    

   ---

2. Bereken die grootte van \(x\).

   

   ---

3. KLM is ’n reguit lyn. Bereken die groottes van \(x\) en \(y\).

    

   ---

4. Hoek \(b\) en ’n hoek van 130° vorm ’n gestrekte hoek. Bereken die groottes van \(a\) en \(b\).

    

   ---

5. Hoeke \(m\) en \(n\) vorm ’n gestrekte hoek. Bereken die groottes van \(m\) en \(n\).

   

   ---

6. BCD is ’n reguit lyn. Bereken die grootte van \(x\).

    

   ---

7. Bereken die grootte van \(x\) en dan die grootte van \( \hat{H}\).

   

   ---

8. Bereken die grootte van \(\hat{N}\)

    

   ---

9. DNP is ’n reguit lyn. Bereken die groottes van \(x\) en \(y\).

    

   ---

Soorte vierhoeke en hulle eienskappe

’n Vierhoek is ’n figuur met vier reguit sye wat by vier hoekpunte ontmoet. In baie vierhoeke het al vier die sye verskillende lengtes en het die hoeke verskillende groottes.

Jy het vantevore met die volgende soorte vierhoeke gewerk – sommige van hulle het gelyke sye en gelyke hoeke:

Die eienskappe van verskillende soorte vierhoeke

1. In elke vraag hier onder word verskillende voorbeelde van ’n bepaalde soort vierhoek gegee. Identifiseer in elke geval die soort vierhoek. Beskryf die eienskappe van elke soort deur stellings oor die lengtes en rigtings van die sye te maak, asook oor die groottes van die hoeke. Dit mag nodig wees om afmetings te neem om dit te kan doen.
   1. 

       

      ---

   2.  

      ---

   3. 

       

      ---

   4.  

      ---

   5.  

      ---

   6. 

      ---

2. Gebruik jou antwoorde en die tekeninge in vraag 1 om te bepaal of die volgende stellings waar (W) of onwaar (O) is.
   1. ’n Reghoek is ’n parallelogram.

      ---

   2. ’n Vierkant is ’n parallelogram.

      ---

   3. ’n Ruit is ’n parallelogra .

      ---

   4. ’n Vlieër is ’n parallelogram.

      ---

   5. ’n Trapesium is ’n parallelogram.

      ---

   6. ’n Vierkant is ’n ruit.

      ---

   7. ’n Vierkant is ’n reghoek.

      ---

   8. ’n Vierkant is ’n vlieër.

      ---

   9. ’n Ruit is ’n vlieër.

      ---

   10. ’n Reghoek is ’n ruit.

       ---

   11. ’n Reghoek is ’n vierkant.

       ---

3. Hier is ’n paar konvensionele definisies van vierhoeke:
   • 'n Parallelogram is ’n vierhoek met twee teenoorstaande sye ewewydig.
   • ’n Reghoek is ’n parallelogram met al vier hoeke gelyk aan 90°.
   • ’n Ruit is ’n parallelogram met al vier sye ewe lank.
   • ’n Vierkant is ’n reghoek met al vier sye ewe lank.
   • ’n Trapesium is ’n vierhoek met een paar teenoorstaande sye ewewydig.
   • ’n Vlieër is ’n vierhoek met twee pare aangrensende sye ewe lank.

   Skryf ander definisies neer wat vir hierdie vierhoeke werk.

   1. Reghoek:

      ---

   2. Vierkant:

      ---

   3. Ruit:

      ---

   4. Vlieër:

      ---

   5. Trapesium:

      ---

Onbekende hoeke en sye van vierhoeke

Bepaal onbekende hoeke en sye

Bepaal die lengte van al die onbekende sye en hoeke in die volgende vierhoeke. Gee redes om jou bewerings te staaf. (Onthou ook dat die som van die hoeke van ’n vierhoek 360° is.)

1.  

2.  

3. ABCD is ’n vlieër.

    

4. Die omtrek van RSTU is 23 cm.

    

5. PQRS iis ’n reghoek en het ’n omtrek van 40 cm.

    

Kongruensie

Wat is kongruensie?

1. \({\triangle}\text{ABC}\) word in die vertikale lyn (spieël) gereflekteer om \({\triangle}\text{KLM}\) te gee.

   Is die grootte en vorm van die twee driehoeke presies dieselfde?

   ---

2. \({\triangle}\text{MON}\) word 90° om punt F geroteer om vir jou \({\triangle}\text{TUE}\) te gee.

   Is die grootte en vorm van \({\triangle}\text{MON}\) en \({\triangle}\text{TUE}\) presies dieselfde?

   ---

3. Vierhoek ABCD word 6 eenhede na regs en 1 eenheid afwaarts verplaas om vierhoek XRZY te gee.

   Is ABCD en XRZY presies dieselfde?

   ---

In die vorige aktiwiteit is elk van die figure getransformeer (gereflekteer, geroteer of getransleer) om ’n tweede figuur te gee. Die tweede figuur in elke paar het dieselfde hoeke, sylengtes, grootte en oppervlakte as die eerste figuur. Die tweede figuur is dus ’n beeld van die eerste figuur.

Notasie van kongruente figure

Wanneer ons figure benoem wat kongruent is, benoem ons hulle so dat die passende, of ooreenstemmende, hoeke in dieselfde volgorde is. Byvoorbeeld, in \({\bf{\triangle}\text{ABC}}\) en \({\bf{\triangle}\text{KLM}}\) op die vorige bladsy sien ons

\(\hat{A}\) is kongruent aan (pas by en is gelyk aan) \(\hat{K}\).

\(\hat{B}\) is kongruent aan \(\hat{M}\).

\(\hat{C}\) is kongruent aan \(\hat{L}\).

Net so vir die ander pare figure op die vorige bladsy: \({\bf{\triangle}\text{MON}} \equiv {\bf{\triangle}\text{ETU}}\) en \({\bf ABCD} \equiv {\bf XRZY}\).

Die notasie van kongruente figure wys ook watter sye van die twee figure ooreenstem en gelyk is. Byvoorbeeld , \({\triangle}\text{ABC} \equiv {\triangle}\text{KML}\) wys dat:

\(\text{AB = KM, BC = ML en AC = KL}\)

Die verkeerde notasie \({\triangle}\text{ABC} \equiv {\triangle}\text{KLM}\) sal die volgende verkeerde inligting gee:

\( \hat{B} = \hat{L}, ~\hat{C} = \hat{M},~\text{AB = KL, en AC = KM}\)

Identifiseer kongruente hoeke en sye

Skryf neer watter hoeke en sye is gelyk tussen elke paar kongruente figure.

1. \({\triangle}\text{PQR} \equiv {\triangle}\text{UCT}\)

   ---

2. \({\triangle}\text{KLM} \equiv {\triangle}\text{UWC}\)

   ---

3. \( {\triangle}\text{GHI}\equiv {\triangle}\text{QRT}\)

   ---

4. \({\triangle}\text{KJL}\equiv {\triangle}\text{POQ}\)

   ---

Gelykvormigheid

Jy het in Graad 7 geleer dat twee figure gelykvormig is wanneer hulle dieselfde vorm het (as hulle hoeke ewe groot is) maar dat hulle verskillende groottes mag wees. Die sye van een figuur is proporsioneel langer of korter as die sye van die ander figuur; dit wil sê, die lengte van elke sy word deur dieselfde getal gedeel of daarmee vermenigvuldig. Ons sê een figuur is ’n vergroting of ’n verkleining van die ander figuur

Kontroleer vir gelykvormigheid

1. Kyk na die reghoeke hier onder en beantwoord die vrae wat volg.

    

   1. Kyk na reghoek 1 en ABCD:

      Hoeveel keer is FH langer as BC?

      ---

      Hoeveel keer is GF langer as AB?

      ---

   2. Kyk na reghoek 2 en ABCD:

      Hoeveel keer is IL langer as BC?

      ---

      Hoeveel keer is LM langer as CD?

      ---

   3. Is reghoek 1 of reghoek 2 ’n vergroting van reghoek ABCD? Verduidelik jou antwoord.

      ---

2. Kyk na die driehoeke hier onder en beantwoord die vrae wat volg.

    

   1. Hoeveel keer is:
      • FG langer as BC?

        ---

      • HF langer as AB?

        ---

      • HG langer as AC?

        ---

      • IK korter as BC?

        ---

      • JI korter as AB?

        ---

      • JK korter as AC?

        ---

   2. Is \({\triangle}\text{HFG}\) ’n vergroting van \({\triangle}\text{ABC}\)? Verduidelik jou antwoord.

      ---

   3. Is \({\triangle}\text{JIK}\) ’n verkleining van \({\triangle}\text{ABC}\)? Verduidelik jou antwoord.

      ---

In vraag 1 van die vorige aktiwiteit is reghoek KILM ’n vergroting van reghoek ABCD. ABCD is dus gelykvormig aan KILM. Die simbool vir “is gelykvormig aan” is: |||. Ons skryf dus: ABCD ||| KILM.

Die driehoeke op die vorige bladsy is ook gelykvormig. \({\triangle}\text{HFG}\) is ’n vergroting van \({\triangle}\text{ABC}\) en \({\triangle}\text{JIK}\) is ’n verkleining van \({\triangle}\text{ABC}\).

In \({\triangle}\text{ABC}\) en \({\triangle}\text{HFG}, ~\hat{A} = \hat{H},~\hat{B} = \hat{F}\) en \(\hat{C} = \hat{G}\). Ons skryf dit dus soos volg: \({\triangle}\text{ABC} \text{|||} {\triangle}\text{HFG}\).

Net so is \({\triangle}\text{ABC} ||| {\triangle}\text{JIK}\).

Gebruik eienskappe van gelykvormige en kongruente figure

1. Is die driehoeke in elke paar gelykvormig? Gee ’n rede vir elke antwoord.

    

   ---

2. Is \({\triangle}\text{RTU} ||| {\triangle}\text{EFG}\)? Gee ’n rede vir jou antwoord.
   

   ---

3. \({\triangle}\text{PQR} ||| {\triangle}\text{XYZ}\). Bepaal die lengte van XZ en XY.
   

   ---

4. Is die volgende stellings waar of onwaar? Verduidelik jou antwoorde.
   1. Figure wat kongruent is, is gelykvormig.

      ---

   2. Figure wat gelykvormig is, is kongruent.

      ---

   3. Alle reghoeke is gelykvormig.

      ---

   4. Alle vierkante is gelykvormig.

      ---