Algebraïese vergelykings

In hierdie hoofstuk gaan jy leer om getalle te bepaal wat sekere bewerings waar maak. ’n Bewering oor ’n onbekende getal word ’n vergelyking genoem. Wanneer ons werk om uit te vind watter getal die vergelyking waar sal maak, sê ons dat ons die vergelyking oplos. Die getal wat die vergelyking waar maak word die oplossing van die vergelyking genoem.

Stel vergelykings op

'n Vergelyking is ’n wiskundige sin wat waar is vir sekere getalle, maar onwaar vir ander getalle. Die volgende is voorbeelde van vergelykings:

\[x + 3 = 11 \text{ en } 2^x = 8\]

\(x + 3 = 11\) is waar as \(x =8\), maar onwaar as \(x =3\).

Wanneer ons na ’n getal of getalle soek wat ’n vergelyking waar maak, sê ons dat ons die vergelyking oplos.. Byvoorbeeld, \(x = 4\) is die oplossing of \(2x + 8\) want dit maak \(2x +8\)waar. (Toets: \(2 \times 4 = 8\)

Soek getalle wat bewerings waar maak

  1. Is die volgende bewerings waar of onwaar? Verduidelik jou antwoord.
    1. \(x - 3 = 0\), if \(x = -3\)
    2. \(x^3 = 8\), if \(x = -2\)
    3. \(3x = -6\), if \(x = -3\)
    4. \(3x = 1\), if \(x = 1\)
    5. \(6x + 5 = 47\), if \(x = 7\)
  2. Bepaal die oorspronklike getal. Wys hoe jy redeneer.
    1. ’n Getal vermenigvuldig met 10 is 80.
    2. Tel 83 by ’n getal en die antwoord is 100.
    3. Deel ’n getal deur 5 en die antwoord is 4.
    4. Vermenigvuldig ’n getal met 4 en die antwoord is 20.
    5. Twee maal ’n getal is 100.
    6. ’n Sekere getal verhef tot die mag 5 is gelyk aan 32.
    7. ’n Sekere getal verhef tot die mag 4 is gelyk aan -81.
    8. Vyftien maal ’n getal is 90.
    9. 93 by ’n getal getel is -3.
    10. Die helfte van ’n getal is 15.
  3. Skryf die vergelykings hier onder in woorde neer deur “’n getal” in die plek van die lettersimbool \(x\). te gebruik. Skryf dan elke keer neer wat jy dink “die getal” is.

    Voorbeeld: \(4 +x = 23\). Vier plus ’n getal is gelyk aan drie-en-twintig. Die getal is 19.

    1. \(8x = 72\)
    2. \( \frac{2x}{5} = 2 \)
    3. \( 2x+ 5 = 21\)
    4. \( 12 + 9x = 30\)
    5. \(30 - 2x = 40\)
    6. \(5x + 4 = 3x+ 10\)

Los vergelykings op deur inspeksie

Die antwoord is duidelik sigbaar

  1. Sewe vergelykings verskyn onder die tabel. Gebruik die tabel om te bepaal vir watter van die gegewe waardes van x die linkerkant van die vergelyking gelyk is aan die regterkant van die vergelyking.

    Jy kan die oplossing van ’n vergelyking van ’n tabel aflees.

    \(x\)

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    \(2x + 3\)

    -3

    -1

    1

    3

    5

    7

    9

    11

    \(x + 4\)

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    \(9 -x\)

    12

    11

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    \(3x -2\)

    -11

    -8

    -5

    -2

    1

    4

    7

    10

    \(10x -7\)

    -37

    -27

    -17

    -7

    3

    13

    23

    33

    \(5x +3\)

    -12

    -7

    -2

    3

    8

    13

    18

    23

    \(10 - 3x\)

    19

    16

    13

    10

    7

    4

    1

    -2
    1. \(2x + 3 = 5x + 3\)
    2. \(5x + 3 = 9 - x\)
    3. \(2x + 3 = x+4\)
    4. \(10x -7 = 5x + 3\)
    5. \(3x -2 = x+4\)
    6. \(9 -x = 2x + 3\)
    7. \(10 -3x = 3x - 2\)

Twee vergelykings kan dieselfde oplossing hê. Byvoorbeeld, \(5x = 10\) en \(x + 2 = 4\) het dieselfde oplossing; \(x = 2\) is die oplossing van albei vergelykings.

Wanneer twee vergelykings dieselfde oplossing het, sê ons hulle is ekwivalent.

  1. Watter van die vergelykings in vraag 1 het dieselfde oplossing? Verduidelik.
  2. Voltooi die tabel. Beantwoord dan die vrae wat volg.

    Jy kan ook die oplossing van ‘n vergelyking soek deur die moontlikhede te beperk.

    \(x\)

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    \(2x + 3\)

    \(3x -10\)
    1. Gee die tabel die oplossing vir \(2x + 3 = 3x - 10\)?
    2. Wat gebeur met die waardes van \(2x + 3\) en \(3x - 10\) as \(x\) soos wat x groter word? Word hulle groter of kleiner?
    3. Is daar ’n punt waar die waarde van \(3x - 10\) groter of kleiner word as die waarde van \(2x + 3\) soos wat die waarde van x toeneem? Indien wel, tussen watter waardes van x gebeur dit?

      Die punt waar die twee vergelykings gelyk is, word die gelykbreekpunt genoem.

    4. Noudat jy vasgestel het waar die waarde van x min of meer lê, toets verskillende moontlike waardes van x totdat jy die waarde van x gevind het wat die vergelyking \(2x + 3 = 3x - 10\) waar maak.

      "Wanneer ons na ’n oplossing van ’n vergelyking soek met behulp van tabelle of deur moontlikhede te beperk, sê ons dat ons die vergelyking oplos deur inspeksie..

Meer voorbeelde

Soek oplossings en kontroleer dit dan

  1. Wat is die oplossings van die vergelykings hier onder?
    1. \(x - 3 = 4\)
    2. \(x + 2 = 9\)
    3. \(3x = 21\)
    4. \(3x + 1 = 22\)

Wanneer ’n sekere getal die oplossing van ’n vergelyking is, sê ons dat die getal die vergelyking bevredig Byvoorbeeld, \(x=4\) bevredig die vergelyking \(3x=12\) want \(3 \times 4 = 12\).

  1. Kies die getal tussen hakies wat die vergelyking bevredig. Verduidelik jou keuse.
    1. \(12x = 84\) {5; 7; 10; 12}

    2. \( \frac{84}{x} = 12\) {-7; 0; 7; 10}

    3. \(48 = 8k + 8\) {-5; 0; 5; 10}

    4. \(19 - 8m = 3\) {-2; -1; 0; 1; 2}

    5. \(20 = 6y - 4\) {3; 4; 5; 6}

    6. \(x^3 = -64\) {-8; -4; 4; 8}

    7. \(5^x =125\) {-3; -1; 1; 3}

    8. \(2^x = 8\) {1; 2; 3; 4}

    9. \(x^2 = 9\) {1; 2; 3; 4}

  2. Wat maak die volgende vergelykings waar? Kontroleer jou antwoorde.
    1. \(m + 8 = 100\)
    2. \( 80 = x + 60 \)
    3. \(26 - k = 0 \)
    4. \(105 \times y = 0\)
    5. \( k \times 10 = 10 \)
    6. \(5x = 100\)
    7. \( \frac{15}{t} = 5 \)
    8. \( 3 = \frac{t}{5} \)
  3. Los die vergelykings op deur inspeksie. Kontroleer jou antwoorde.
    1. \( 12x + 14 = 50 \)
    2. \(100 = 15m + 25\)
    3. \( \frac{100}{x} =20\)
    4. \( 7m + 5 = 40\)
    5. \(2x + 8 = 10\)
    6. \(3x + 10 = 31\)
    7. \(-1 + 2x = -11\)
    8. \(2 + \frac{x}{7} = 5\)
    9. \(100 = 64 + 9x\)
    10. \( \frac{2x}{6}= 4\)