Heelgetalle

In hierdie hoofstuk gaan jy met heelgetalle kleiner as 0 werk. Hierdie getalle word negatiewe getalle genoem. Die natuurlike getalle, 0 en die negatiewe getalle word saam die heelgetalle genoem. Wiskundiges het saamgestem dat negatiewe getalle sekere eienskappe moet hê wat hulle nuttig sal maak vir verskeie doeleindes. Jy gaan oor hierdie eienskappe leer en hoe hulle dit moontlik maak om berekeninge met negatiewe getalle te doen.

Wat is anderkant

Waarom mense besluit het om negatiewe getalle te hê

Hier regs kan jy sien hoe Jimmy verkies om te werk wanneer hy berekeninge soos 542 + 253 doen.

Hy probeer om 542 - 253 op ’n soortgelyke manier te bereken:

\( \begin{align} 500 - 200 &= 300 \\ 40 - 50 &= ? \end{align} \)

Jimmy het duidelik ’n probleem. Hy redeneer soos volg:

Ek kan 40 van 40 aftrek; dit gee 0. Maar dan is daar nog steeds 10 wat ek moet aftrek.

Hy besluit om die 10 wat hy nog moet aftrek later te hanteer, en gaan voort:

\( \begin{align} 500 - 200 &= 300 \\ 40 - 50 &= 0 \textit{, maar daar is nog 10 wat ek moet aftrek. } \\ 2 - 3 &= 0 \textit{, maar daar is nog 1 wat ek moet aftrek. } \end{align} \)

1. 1. Wat moet Jimmy nog aftrek en wat sal sy finale antwoord wees?

      ---

   2. Toe Jimmy ’n ander aftrekprobleem gedoen het, het hy op een stadium op die volgende uitgekom:

      600 en (-)50 en (-)7

      Wat dink jy is Jimmy se finale antwoord vir hierdie aftrekprobleem?

      ---

Wiskundiges het ongeveer 500 jaar gelede voorgestel dat ’n “negatiewe getal” gebruik kan word om die resultaat in ’n situasie soos in Jimmy se aftrekprobleem hier bo te beskryf, waar ’n getal van ’n kleiner getal afgetrek word.

Ons kan byvoorbeeld sê \(10 - 20 = (-10)\)

Hierdie voorstel is gou deur ander wiskundiges aanvaar en dit word nou oral oor die wêreld gebruik.

2. Bereken die volgende:
   1. \( 16 - 20\)

      ---

   2. \( 16 - 30\)

      ---

   3. \( 16 - 40\)

      ---

   4. \( 16 - 60\)

      ---

   5. \( 16 - 200\)

      ---

   6. \( 5 - 1 000\)

      ---

3. n Paar getalle word op die lyne hier onder gewys. Vul die ontbrekende getalle in.

    

    

Die volgende stelling is waar as die getal 5 is:

\(15 - \textit{(’n sekere getal)} = 10\)

’n Paar eeue gelede het ’n paar wiskundiges besluit hulle wil getalle hê wat sinne soos die volgende ook waar sou maak:

\(15 + \textit{(’n sekere getal)} = 10\)

Maar om van 15 na 10 te gaan moet jy 5 aftrek.

Die getal wat ons nodig het om die sin \(15 + \textit{(n sekere getal)} = 10\) waar te maak, moet die volgende vreemde eienskap hê:

As jy hierdie getal bytel moet dit dieselfde uitwerking hê as om 5 af te trek..

Omdat die wiskundiges van ’n paar eeue gelede werklik baie graag getalle wou gehad het waarvoor sulke vreemde sinne waar sou wees, het hulle soos volg gedink:

Laat ons besluit, en onder mekaar saamstem, dat die getal wat ons “negatief 5” noem die eienskap sal hê dat as jy dit by ’n ander getal tel, die uitwerking dieselfde sal wees as wanneer jy die natuurlike getal 5 aftrek.

Dit beteken die wiskundiges het saamgestem dat \(15 + (-5)\) gelyk is aan \(15 - 5\). Anders gestel: in plaas daarvan om negatief 5 by ’n getal te tel, kan jy 5 aftrek.

4. Bereken die volgende:
   1. \(500 + (-300)\)

      ---

   2. \(100 + (-20) + (-40)\)

      ---

   3. \(500 + (-200) + (-100)\)

      ---

   4. \( 100 + (-60)\)

      ---

5. Maak ’n voorstel van wat die antwoord vir \((-20) + (-40) \) moet wees. Gee redes vir jou voorstel.

   ---

6. Gaan voort met die lyste getalle hier onder om die tabel te voltooi.

   (a)	(b)	(c)	(d)	(e)	(f)	(g)
   10	100	3	-3	-20	150	0
   9	90	6	-6	-18	125	-5
   8	80	9	-9	-16	100	-10
   7	70	12	-12	-14	75	-15
   6	60	15	-15		50	-20
   5	50					-25
   4	40
   3	30
   2	20
   1	10
   -1	-10

Die volgende stelling is waar as die getal 5 is:

\(15 + \textit{(’n sekere getal)} = 20\)

Watter eienskappe moet ’n getal hê sodat dit die volgende stelling waar maak?

\(15 - \textit{(’n sekere getal)} = 20\)

Om van 15 na 20 te gaan moet jy 5 bytel. Die getal wat ons nodig het om die sin \(15 - \textit{(’n sekere getal)} = 20\) waar te maak, moet die volgende eienskap hê:

As jy hierdie getal aftrek moet dit dieselfde uitwerking hê as om 5 by te tel..

Kom ons stem saam dat \( 15 - (-5) \) gelyk is aan \(15 + 5\).

Anders gestel: in plaas daarvan om negatief 5 van ’n getal af te trek, kan jy 5 bytel.

7. Bereken.
   1. \(30 - (-10)\)

      ---

   2. \(30 + 10\)

      ---

   3. \(30 + (-10)\)

      ---

   4. \(30 - 10\)

      ---

   5. \(30 - (-30)\)

      ---

   6. \(30 + 30\)

      ---

   7. \(30 + (-30)\)

      ---

   8. \(30 - 30\)

      ---

Jy stem waarskynlik saam dat

\[ \begin{align} 5 + (-5) &= 0 \\ 10 + (-10) &= 0 \\ \text{en} \\ 20 + (-20) &= 0 \end{align} \]

Ons kan sê vir elke “positiewe” getal is daar ’n ooreenkomstige of teenoorgestelde negatiewe getal. Twee positiewe en negatiewe getalle wat ooreenkom, byvoorbeeld 3 en (-3), word optellingsinverses genoem. Hulle wis mekaar uit as jy hulle bymekaartel.

8. Skryf die optellingsinverse van die volgende getalle neer:
   1. 24

      ---

   2. -24

      ---

   3. -103

      ---

   4. 2 348

      ---

Die idee van optellingsinverses kan gebruik word om te verduidelik waarom \(8 + (-5)\) gelyk is aan 3:

\[8 + (-5) = 3 + \boxed{5 + (-5)} = 3 + 0 = 3 \]

9. Gebruik die idee van optellingsinverses om te verduidelik waarom elk van hierdie stellings waar is:
   1. \( 43 + (-30) = 13 \)

      ---

   2. \(150 + (-80) = 70 \)

      ---

Stellings wat waar is vir baie verskillende getalle

Optel en aftrek met heelgetalle

Optel kan minder maak en aftrek kan meer maak

1. Bereken die volgende:
   1. \(10 + 4 + (-4)\)

      ---

   2. \(10 + (-4) + 4\)

      ---

   3. \(3 + 8 + (-8)\)

      ---

   4. \(3 + (-8) + 8\)

      ---

Natuurlike getalle kan in enige volgorde gerangskik word vir optel of aftrek. Dit is ook die geval met heelgetalle.

2. Bereken die volgende:
   1. \(18 + 12\)

      ---

   2. \(12 + 18\)

      ---

   3. \( 2 + 4 + 6\)

      ---

   4. \(6 + 4 + 2\)

      ---

   5. \(2 + 6 + 4\)

      ---

   6. \(4 + 2 + 6\)

      ---

   7. \( 4 + 6 + 2\)

      ---

   8. \( 6 + 2 + 4\)

      ---

   9. \( 6 + (-2) + 4\)

      ---

   10. \( 4 + 6 + (-2)\)

       ---

   11. \(4 + (-2) + 6\)

       ---

   12. \( (-2) + 4 + 6\)

       ---

   13. \( 6 + 4 + (-2)\)

       ---

   14. \( (-2) + 6 + 4\)

       ---

   15. \( (-6) + 4 + 2\)

       ---

3. Bereken die volgende:
   1. \( (-5) + 10\)

      ---

   2. \( 10 + (-5)\)

      ---

   3. \( (-8) + 20\)

      ---

   4. \( 20 - 8\)

      ---

   5. \( 30 + (-10)\)

      ---

   6. \(30 + (-20)\)

      ---

   7. \(30 + (-30)\)

      ---

   8. \( 10 + (-5) + (-3)\)

      ---

   9. \((-5) + 7 + (-3) + 5\)

      ---

   10. \( (-5) + 2 + (-7) + 4\)

       ---

4. Bepaal die getal wat die stelling waar maak. Skryf jou antwoord as ’n geslote getallesin.
   1. \(20 + \text{(’n onbekende getal)} = 50\)

      ---

   2. \(50 + \text{(’n onbekende getal)} = 20\)

      ---

   3. \(20 + \text{(’n onbekende getal)} = 10\)

      ---

   4. \(\text{(’n onbekende getal)} + (-25) = 50\)

      ---

   5. \(\text{(’n onbekende getal)} + (-25) = -50\)

      ---

5. Gebruik die idee van optellingsinverses om te verduidelik waarom die volgende stellings waar is:
   1. \( 43 + (-50) = -7\)

      ---

   2. \( 60+ (-85) = -25 \)

      ---

6. Voltooi die tabel so ver as wat jy kan.

   (a)	(b)	(c)
   \(5 - 8 = \)	\(5 + 8 = \)	\(8 - 3 = \)
   \(5 - 7 =\)	\(5 + 7 =\)	\(7 - 3 =\)
   \(5 - 6 =\)	\(5 + 6 =\)	\(6 - 3 =\)
   \(5 - 5 =\)	\(5 + 5 =\)	\(5 - 3 =\)
   \(5 - 4 =\)	\(5 + 4 =\)	\(4 - 3 =\)
   \(5 - 3 =\)	\(5 + 3 =\)	\(3 - 3 =\)
   \(5 - 2 =\)	\(5 + 2 =\)	\(2 - 3 =\)
   \(5 - 1 =\)	\(5 + 1 =\)	\(1 - 3 =\)
   \(5 - 0 =\)	\(5 + 0 =\)	\(0 - 3 =\)
   \(5 - (-1) =\)	\(5 + (-1) =\)	\((-1) - 3 =\)
   \(5 - (-2) =\)	\(5 + (-2) =\)	\((-2) - 3 =\)
   \(5 - (-3) =\)	\(5 + (-3) =\)	\((-3) - 3 =\)
   \(5 - (-4) =\)	\(5 + (-4) =\)	\((-4) - 3 =\)
   \(5 - (-5) =\)	\(5 + (-5) =\)	\((-5) - 3 =\)
   \(5 - (-6) =\)	\(5 + (-6) =\)	\((-6) - 3 =\)

7. Bereken.
   1. \(80 + (-60)\)

      ---

   2. \(500 + (-200) + (-200)\)

      ---

8. 1. Is \(100 + (-20) + (-20) = 60\), of is dit gelyk aan iets anders?

      ---

   2. Waaraan dink jy is \((-20) + (-20)\) gelyk?

      ---

9. Bereken.
   1. \(20 - 20\)

      ---

   2. \(50 - 20\)

      ---

   3. \( (-20) - (-20)\)

      ---

   4. \((-50) - (-20)\)

      ---

10. Bereken.
    1. \( 20 - (-10)\)

       ---

    2. \( 100 - (-100)\)

       ---

    3. \( 20 + (-10)\)

       ---

    4. \(100 + (-100)\)

       ---

    5. \((-20) - (-10)\)

       ---

    6. \( (-100) - (-100)\)

       ---

    7. \( (-20) + (-10)\)

       ---

    8. \( (-100) + (-100)\)

       ---

11. Voltooi die tabel so ver as wat jy kan.

    (a)	(b)	(c)
    \( 5 - (-8) \) =	\( (-5) + 8 =\)	\( 8 - (-3) =\)
    \( 5 - (-7) =\)	\( (-5) + 7 =\)	\( 7 - (-3) =\)
    \( 5 - (-6) =\)	\( (-5) + 6 =\)	\( 6 - (-3) =\)
    \( 5 - (-5) =\)	\( (-5) + 5 = \)	\( 5 - (-3) =\)
    \( 5 - (-4) =\)	\( (-5) + 4 =\)	\( 4 - (-3) =\)
    \( 5 - (-3) =\)	\( (-5) + 3 =\)	\( 3 - (-3) =\)
    \( 5 - (-2) =\)	\( (-5) + 2 =\)	\( 2 - (-3) =\)
    \( 5 - (-1) =\)	\( (-5) + 1 =\)	\( 1 - (-3) =\)
    \( 5 - 0 =\)	\( (-5) + 0 =\)	\( 0 - (-3) =\)
    \( 5 - 1 =\)	\( (-5) + (-1) =\)	\( (-1) - (-3) =\)
    \( 5 - 2 =\)	\( (-5) + (-2) =\)	\( (-2) - (-3) =\)
    \( 5 - 3 = \)	\( (-5) + (-3) = \)	\( (-3) - (-3) = \)
    \( 5 - 4 = \)	\( (-5) + (-4) = \)	\( (-4) - (-3) = \)
    \( 5 - 5 = \)	\( (-5) + (-5) = - \)	\((-5) - (-3) = \)

12. Is die stelling waar of onwaar? Gee ’n numeriese voorbeeld om jou antwoord te staaf.
    1. Om ’n positiewe getal van ’n negatiewe getal af te trek het dieselfde uitwerking as om die optellingsinverse van die positiewe getal by te tel.

       ---

    2. Om ’n negatiewe getal by ’n positiewe getal te tel het dieselfde uitwerking as om die optellingsinverse van die negatiewe getal by te tel.

       ---

    3. Om ’n negatiewe getal van ’n positiewe getal af te trek het dieselfde uitwerking as om die optellingsinverse van die negatiewe getal af te trek.

       ---

    4. Om ’n negatiewe getal by ’n positiewe getal te tel het dieselfde uitwerking as om die optellingsinverse van die negatiewe getal af te trek.

       ---

    5. Om ’n positiewe getal by ’n negatiewe getal te tel het dieselfde uitwerking as om die optellingsinverse van die positiewe getal by te tel.

       ---

    6. Om ’n positiewe getal by ’n negatiewe getal te tel het dieselfde uitwerking as om die optellingsinverse van die positiewe getal af te trek.

       ---

    7. Om ’n positiewe getal van ’n negatiewe getal af te trek het dieselfde uitwerking as om die optellingsinverse van die positiewe getal af te trek.

       ---

    8. Om ’n negatiewe getal van ’n positiewe getal af te trek het dieselfde uitwerking as om die optellingsinverse van die negatiewe getal by te tel.

       ---

Vergelyk heelgetalle en los probleme op

1. Vul <, > of = in die blokkies in om die verwantskap tussen die getalle te wys:
   1. -103 ☐ -99
   2. -699 ☐ -701
   3. 30 ☐ -30
   4. 10-7 ☐ -(10-7)
   5. -121 ☐ -200
   6. -12 - 5 ☐ -(12 + 5)
   7. -199 ☐ -110
2. Teen 5 vm. was die temperatuur -5 °C in Bloemfontein. Teen 1 nm. was dit 19 °C. Met hoeveel grade het die temperatuur gestyg?

   ---

3. ’n Duiker swem 150 m onder die oppervlak van die see. Sy beweeg 75 m na die oppervlak toe. Hoe ver is sy nou onder die oppervlak?

   ---

4. Een oseaantrog is 800 m diep en ’n ander een is 2 200 m diep. Wat is die verskil tussen hulle dieptes?

   ---

5. Op ’n eiland is ’n berg wat 1 200 m hoog is. Die omringende oseaan is 860 m diep. Wat is die verskil in hoogte?

   ---

6. Op ’n wintersdag in Upington het die temperatuur met 19 °C gestyg. As die minimum temperatuur -4 °C was, wat was die maksimum temperatuur?

   ---

Vermenigvuldiging en deling met heelgetalle

Vermenigvuldig met heelgetalle

1. Bereken.
   1. \( -5 + -5 + -5 + -5 + -5 + -5 + -5 + -5 + -5 + -5\)

      ---

   2. \( -10 + -10 + -10 + -10 + -10\)

      ---

   3. \( -6 + -6 + -6 + -6 + -6 + -6 + -6 + -6\)

      ---

   4. \( -8 + -8 + -8 + -8 + -8 + -8\)

      ---

   5. \( -20 + -20 + -20 + -20 + -20 + -20 + -20\)

      ---

2. Sê in elke geval of jy saamstem met(✓) of verskil van (✗) die gegewe stelling.
   1. \( 10 \times (-5) = 50\)

      ---

   2. \( 8 \times (-6) = (-8) \times 6\)

      ---

   3. \( (-5) \times 10 = 5 \times (-10)\)

      ---

   4. \( 6 \times (-8) = -48\)

      ---

   5. \( (-5) \times 10 = 10 \times (-5)\)

      ---

   6. \( 8 \times (-6) = 48\)

      ---

   7. \( 4 \times 12 = -48\)

      ---

   8. \( (-4) \times 12 = -48\)

      ---

3. Is die optel van heelgetalle kommutatief? Verduidelik jou antwoord met drie verskillende voorbeelde.

   ---

4. Bereken.
   1. \(20 \times (-10)\)

      ---

   2. \((-5) \times 4\)

      ---

   3. \((-20) \times 10\)

      ---

   4. \(4 \times (-25)\)

      ---

   5. \(29 \times (-20)\)

      ---

   6. \((-29) \times (-2)\)

      ---

5. Bereken.
   1. \( 10 \times 50 + 10 \times (-30)\)

      ---

   2. \( 50 + (-30)\)

      ---

   3. \(10 \times {\bf(}50 + (-30){\bf)}\)

      ---

   4. \((-50) + (-30) \)

      ---

   5. \(10 \times (-50) + 10 \times (-30) \)

      ---

   6. \(10 \times {\bf(}(-50) + (-30){\bf)} \)

      ---

6. 1. Vier numeriese uitdrukkings word hier onder gegee. Onderstreep die uitdrukkings wat jy verwag dieselfde antwoorde sal hê. Moenie die berekeninge doen nie.

      \[14 \times (23 + 58) \\ 23 \times (14 + 58) \\ 14 \times 23 + 14 \times 58 \\ 14 \times 23 + 58\]

   2. Watter eienskap van bewerkings word gedemonstreer deur die feit dat twee van die uitdrukkings hier bo dieselfde waarde het?

      ---

7. Oorweeg jou antwoorde vir vraag 6.
   1. Versprei vermenigvuldiging oor optel in die geval van heelgetalle?

      ---

   2. Illustreer jou antwoord met twee voorbeelde.

      ---

8. Drie numeriese uitdrukkings word hier onder gegee. Onderstreep die uitdrukkings wat jy verwag dieselfde antwoorde sal hê. Moenie die berekeninge doen nie.

   \[10 \times {\bf(}(-50) - (-30){\bf)} \\ 10 \times (-50) - (-30) \\ 10 \times (-50) - 10 \times (-30) \]

9. Doen die drie stelle berekeninge wat in vraag 8 gegee word.

   ---

Jou werk in vrae 5, 8 en 9 wys dat vermenigvuldiging met ’n positiewe getal oor optel en aftrek van heelgetalle versprei. Byvoorbeeld:

\[ 10 \times {\bf(}5 + (-3){\bf)} = 10 \times 2 = {\bf20} \text{ en } 10 \times 5 + 10 \times (-3) = 50 + (-30) = {\bf 20} \]

\[ 10 \times {\bf(}5 - (-3){\bf)} = 10 \times 8 = {\bf 80} \text{ en } 10 \times 5 - 10 \times (-3) = 50 - (-30) = {\bf 80} \]

10. Bereken: \((-10) \times {\bf(}5 + (-3){\bf)} \)

    ---

Oorweeg nou die vraag of vermenigvuldiging met ’n negatiewe getal oor optel en aftrek van heelgetalle versprei. Byvoorbeeld, sal \((-10) \times 5 + (-10) \times (-3)\) ook die antwoord -20, he, soos \((-10) \times {\bf(}5 + (-3){\bf)}\)?

11. Waaraan moet \((-10) \times (-3)\) gelyk wees as ons wil hê \((-10) \times 5 + (-10) \times (-3)\) moet gelyk wees aan -20?

    ---

Om te verseker dat vermenigvuldiging oor optel en aftrek versprei in die stelsel van heelgetalle, moet ons saamstem dat

(’n negatiewe getal) \(\times\) (’n negatiewe getal) ’n positiewe getal is,

byvoorbeeld \((-10) \times (-3) = 30\).

12. Bereken.
    1. \((-10) \times (-5)\)

       ---

    2. \((-10) \times 5\)

       ---

    3. \(10 \times 5\)

       ---

    4. \(10 \times (-5)\)

       ---

    5. \((-20) \times (-10) + (-20) \times (-6)\)

       ---

    6. \((-20) \times {\bf(}(-10) + (-6){\bf)}]\)

       ---

    7. \((-20) \times (-10) - (-20) \times (-6)\)

       ---

    8. \((-20) \times {\bf(}(-10) - (-6){\bf)}\)

       ---

Hier is ’n opsomming van die eienskappe van heelgetalle wat dit moontlik maak om berekeninge met heelgetalle te doen:

Deel met heelgetalle

1. 1. Bereken \(25 \times 8\).

      ---

   2. Hoeveel is \( 200 \div 25?\)

      ---

   3. Hoeveel is \( 200 \div 8?\)

      ---

2. Bereken.
   1. \(25 \times\ (-8) )\)

      ---

   2. \((-125) \times 8\)

      ---

3. Gebruik die werk wat jy vir vraag 2 gedoen het om die antwoorde vir die volgende delings uit te werk:
   1. \( (-1 000) \div (-125)\)

      ---

   2. \( (-1 000) \div 8\)

      ---

   3. \( (-200) \div 25\)

      ---

   4. \( (-200) \div 8\)

      ---

4. Kan jy ook die antwoorde vir die volgende delings uitwerk deur die werk te gebruik wat jy vir vraag 2 gedoen het?
   1. \( 1 000 \div (-125)\)

      ---

   2. \( (-1 000) \div (-8)\)

      ---

   3. \( (-100) \div (-25)\)

      ---

   4. \( 100 \div (-25)\)

      ---

Wanneer twee getalle vermenigvuldig word, byvoorbeeld \(30 \times 4 = 120\), kan die woord “produk” op verskillende maniere gebruik word om die situasie te beskryf:

• ’n Uitdrukking wat net vermenigvuldiging spesifiseer, soos 30 \(\times\) 4, word ’n produk of ’n produkuitdrukking genoem.
• Die antwoord wat verkry word, word ook die produk van die twee getalle genoem. Byvoorbeeld, 120 word die produk van 30 en 4 genoem.

’n Uitdrukking wat net deling spesifiseer, soos \(30 \div 5\), word 'n kwosiënt of a kwosiëntuitdrukking genoem. Die antwoord wat verkry word, word ook die kwosiënt van die twee getalle genoem. Byvoorbeeld, 6 word die kwosiënt van 30 en 5 genoem.

5. Sê by elke vraag of jy saamstem met die stelling of nie, en gee ’n voorbeeld om jou antwoord te illustreer.
   1. Die kwosiënt van ’n positiewe en ’n negatiewe heelgetal is negatief.

      ---

   2. Die kwosiënt van ’n positiewe heelgetal en ’n positiewe heelgetal is negatief.

      ---

   3. Die kwosiënt van ’n negatiewe heelgetal en ’n negatiewe heelgetal is negatief.

      ---

   4. Die kwosiënt van ’n negatiewe heelgetal en ’n negatiewe heelgetal is positief.

      ---

6. Doen die nodige berekeninge om die kwosiënte se waardes te gee.
   1. \((-500) \div (-20)\)

      ---

   2. \((-144) \div 6\)

      ---

   3. \(1 440 \div (-60)\)

      ---

   4. \((-1 440) \div (-6)\)

      ---

   5. \(-14 400 \div 600\)

      ---

   6. \(500 \div (-20)\)

      ---

Die groeperingseienskappe van bewerkings met heelgetalle

Vermenigvuldiging van heelgetalle is assosiatief. Dit beteken in ’n produk met verskeie faktore kan die faktore in enige volgorde geplaas word, en die berekeninge kan in enige volgorde gedoen word. Byvoorbeeld die opeenvolgende berekeninge hier onder sal almal dieselfde antwoord gee:

1. \(2 \times 3\), die antwoord van \(2 \times 3\) vermenigvuldig met 5, die nuwe antwoord vermenigvuldig met 10
2. \(2 \times 5\), die antwoord van \(2 \times 5\) vermenigvuldig met 10, die nuwe antwoord vermenigvuldig met 3
3. \(10 \times 5\), die antwoord van \(10 \times 5\) vermenigvuldig met 3, die nuwe antwoord vermenigvuldig met 2
4. \(3 \times 5\), die antwoord van \(3 \times 5\) vermenigvuldig met 2, die nuwe antwoord vermenigvuldig met 10

1. Doen die berekeninge wat in A tot D gegee is om te kontroleer of hulle regtig dieselfde antwoorde gee.

   1. ---

   2. ---

   3. ---

   4. ---

2. 1. Dink jy die vier antwoorde sal nog steeds dieselfde wees as die getalle 3 en 10 in die opeenvolgings van berekeninge A, B, C en D met -3 en -10 vervang word?

      ---

   2. Ondersoek dit om jou vermoede te kontroleer.

      ---

Die berekeninge in A kan net op twee maniere met simbole voorgestel word:

• \(2 \times 3 \times 5 \times 10\). Die konvensie om van links na regs te werk, tensy anders aangedui word met hakies, verseker dat hierdie voorstelling met A ooreenkom.
• \(5 \times (2 \times 3) \times 10\), waar hakies gebruik word om aan te dui dat \(2 \(\times\) 3\) eerste bereken moet word. As hakies gebruik word, is daar verskillende moontlikhede om dieselfde volgorde van berekeninge te beskryf.

3. Druk die berekeninge in B, C en D wat op bladsy 44 gegee word in simbole uit, sonder om hakies te gebruik.

   ---

4. Ondersoek, op dieselfde manier wat jy dit in vraag 2 vir vermenigvuldiging gedoen het, of optel met heelgetalle assosiatief is. Gebruik vier heelgetalle.

   ---

5. 1. Bereken: \(80 - 30 + 40 - 20\)

      ---

   2. Bereken: \(80 + (-30) + 40 + (-20)\)

      ---

   3. Bereken: \(30 - 80 + 20 - 40\)

      ---

   4. Bereken: \((-30) + 80 + (- 20) + 40\)

      ---

   5. Bereken: \(20 + 30 - 40 - 80\)

      ---

Gemengde berekeninge met heelgetalle

1. Bereken.
   1. \(-3 \times 4 + (-7) \times 9\)

      ---

   2. \(-20(-4 - 7)\)

      ---

   3. \(20 \times (-5) - 30 \times 7\)

      ---

   4. \(-9(20 - 15)\)

      ---

   5. \(-8 \times (-6) - 8 \times 3\)

      ---

   6. \((-26 - 13) \div (-3)\)

      ---

   7. \(-15 \times (-2) + (-15) \div (-3)\)

      ---

   8. \(-15(2 - 3)\)

      ---

   9. \( (-5 + -3) \times 7\)

      ---

   10. \(-5 \times (-3 + 7) + 20 \div (-4)\)

       ---

2. Bereken.
   1. \(20 \times (-15 + 6) - 5 \times (-2 - 8) - 3 \times (-3 - 8)\)

      ---

   2. \(40 \times (7 + 12 - 9) + 25 \div (-5) - 5 \div 5\)

      ---

   3. \(-50(20 - 25) + 30(-10 + 7) - 20(-16 + 12)\)

      ---

   4. \(-5 \times (-3 + 12 - 9)\)

      ---

   5. \( -4 \times (30 - 50) + 7 \times (40 - 70) - 10 \times (60 - 100)\)

      ---

   6. \( -3 \times (-14 + 6) \times (-13 + 7) \times (-20 + 5)\)

      ---

   7. \( 20 \times (-5) + 10 \times (-3) + (-5) \times (-6) - (3 \times 5)\)

      ---

   8. \( -5(-20 - 5) + 10(-7 - 3) - 20(-15 - 5) + 30(-40 - 35)\)

      ---

   9. \( (-50 + 15 - 75) \div (-11) + (6 - 30 + 12) \div (-6)\)

      ---

Kwadrate, derdemagte en wortels van heelgetalle

Kwadrate en derdemagte van heelgetalle

1. Bereken.
   1. \(20 \times 20\)

      ---

   2. \( 20 \times (-20)\)

      ---

2. Skryf die antwoorde vir die volgende neer:
   1. \((-20) \times 20\)

      ---

   2. \((-20) \times (-20)\)

      ---

3. Voltooi die tabel.

   \(x\)	1	-1	2	-2	5	-5	10	-10
   \(x^2\) wat is \(x \times x\)
   \(x^3\)

4. Sê in elk van die gevalle hier onder vir watter waardes van \(x\), wat in die tabel in vraag 3 gegee is, die gegewe stelling waar is.
   1. \(x^3\) is ’n negatiewe getal

      ---

   2. \(x^2\) is ’n negatiewe getal

      ---

   3. \(x^2\) > \(x^3\)

      ---

   4. \(x^2\) < \(x^3\)

      ---

5. Voltooi die tabel.

   \(x\)	3	-3	4	-4	6	-6	7	-7
   \(x^2\)
   \(x^3\)

6. Ben dink aan ’n getal. Hy tel 5 daarby en sy antwoord is 12.
   1. Aan watter getal het hy gedink?

      ---

   2. Is daar nog ’n getal wat ook 12 sal gee as 5 daarby getel word?

      ---

7. Lebo dink ook aan ’n getal. Sy vermenigvuldig die getal met homself en kry 25.
   1. Aan watter getal het sy gedink?

      ---

   2. Is daar meer as een getal wat 25 sal gee as dit met homself vermenigvuldig word?

      ---

8. Mary dink aan ’n getal en bereken (die getal) \(\times\) (die getal) \(\times\) (die getal). Haar antwoord is 27.

   Aan watter getal het Mary gedink?

   ---

9. Skryf die positiewe en die negatiewe vierkantswortel van elke getal neer.
   1. 64

      ---

   2. 9

      ---

10. Voltooi die tabel.

    Getal	1	4	9	16	25	36	49	64
    Positiewe vierkantswortel			3					8
    Negatiewe vierkantswortel			-3					-8

11. Voltooi die tabelle.

    1. \(x\)	1	2	3	4	5	6	7	8
       \(x^3\)

    2. \(x\)	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8
       \(x^3\)

12. Voltooi die tabel.

    Getal	-1	8	-27	-64	-125	-216	1 000
    Derdemagswortel			-3				10

Die simbool \( \sqrt{}\)word gebruik om “wortel” aan te dui.

\( \sqrt[3]{-125}\) stel die derdemagswortel van -125 voor. Dit beteken \( \sqrt[3]{-125} = -5\).

\( \sqrt[2]{36} \) stel die positiewe vierkantswortel van 36 voor, en \( - \sqrt[2]{36} \) stel die negatiewe 3 -125 = -5. vierkantswortel voor. Die “2” wat “vierkant” aandui word gewoonlik weggelaat, dus \( \sqrt{36} = 6\) en\( - \sqrt{36} = - 6\).

13. . Voltooi die tabel.

    \( \sqrt[3]{-8} \)	\( \sqrt{121} \)	\( \sqrt[3]{-64} \)	\( - \sqrt{64} \)	\(\sqrt{64} \)	\( \sqrt[3]{-1} \)	\( -\sqrt{1} \)	\( \sqrt[3]{-216} \)